編程需要知道多少數(shù)學(xué)知識(shí)？
下面是我在reddit的子論壇 r/learnprogramming 看到的幾個(gè)帖子:
● “要成為一個(gè)優(yōu)秀的程序員需要學(xué)習(xí)多少數(shù)學(xué)？”
● “我應(yīng)該重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)嗎？”
● “這可能是我提問(wèn)過(guò)的最愚蠢的一個(gè)問(wèn)題。成為一個(gè)優(yōu)秀的程序員究竟需要學(xué)習(xí)多少數(shù)學(xué)？”
數(shù)學(xué)和編程有一種容易讓人誤解的聯(lián)系。許多人認(rèn)為在開(kāi)始學(xué)習(xí)編程之前必須對(duì)數(shù)學(xué)很在行或者數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)很高。但一個(gè)人為了編程的話(huà)，需要學(xué)習(xí)多少數(shù)學(xué)呢？
實(shí)際上不需要很多。這篇文章中我會(huì)深入探討編程中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)。你可能已經(jīng)都知道了。
對(duì)于基本的編程，你需要知道下面的：
● 加減乘除 — 實(shí)際上，電腦會(huì)幫你作加減乘除運(yùn)算。你僅需要知道什么時(shí)候運(yùn)用它們。
● 模運(yùn)算 — 模運(yùn)算是用來(lái)計(jì)算余數(shù)，它的符號(hào)通常用%百分號(hào)來(lái)表示。所以23除以7等于3，余數(shù)是2。23 mod 7 = 2。
● 判斷是奇數(shù)還是偶數(shù)的模運(yùn)算 — 如果你想知道一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，用它mod 2來(lái)作模運(yùn)算。如果結(jié)果是0，它就是偶數(shù)。如果結(jié)果是1，就是奇數(shù)。23 mod 2等于1，所以23是奇數(shù)，24 mod 2等于0，24是偶數(shù)。
● 對(duì)一個(gè)數(shù)作百分?jǐn)?shù)運(yùn)算，就是用這個(gè)數(shù)來(lái)乘以一個(gè)百分?jǐn)?shù)。譬如你要得到279的54%，就是用0。54*279。這就意味著為什么1.0等于100%，0.0等于0%。
● 知道負(fù)數(shù)是什么。負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)等于正數(shù)。負(fù)數(shù)乘以正數(shù)等于負(fù)數(shù)。就這么簡(jiǎn)單。
● 知道卡迪爾坐標(biāo)系統(tǒng)。在編程中，（0,0）代表屏幕左上角，Y坐標(biāo)的正軸往下。
● 知道勾股定律，因?yàn)樗怯脕?lái)計(jì)算笛卡爾坐標(biāo)中兩點(diǎn)之間的距離的。勾股定律a^2 + b^2 = c^2。(x1, y1)和(x2, y2)兩點(diǎn)之間的距離等于( (x1 – x2)^2 + (y1 – y2)^2 )。
● 知道十進(jìn)制、二進(jìn)制、十六進(jìn)制。十進(jìn)制就是我們通常用的十個(gè)數(shù)：0-9。通常認(rèn)為這個(gè)十進(jìn)制系統(tǒng)是人類(lèi)發(fā)明的，因?yàn)槲覀冇惺畟€(gè)手指。
電腦采用二進(jìn)制數(shù)據(jù)，只有兩個(gè)數(shù)字：0和1。這是因?yàn)槲覀冇秒娮釉?lái)構(gòu)建的電腦，讓電腦只識(shí)別兩種狀態(tài)更便宜些（一種代表0，另一種代表1）。
數(shù)是一樣的，但是在不同的進(jìn)制系統(tǒng)里的表現(xiàn)形式不同，因?yàn)椴煌M(jìn)制包含的數(shù)的個(gè)數(shù)不同。十六進(jìn)制比十進(jìn)制多六個(gè)數(shù)字，所以我們用A-F表示超過(guò)9的數(shù)。能夠表現(xiàn)這些進(jìn)制系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單方法就是用一個(gè)計(jì)數(shù)器(odometer)。下面三種不同的計(jì)數(shù)器顯示的是同一個(gè)數(shù)，但在不同的進(jìn)制系統(tǒng)中的形式不同：
在新窗口中查看計(jì)數(shù)器頁(yè)面
你甚至不需要知道怎么從一個(gè)進(jìn)制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成另一個(gè)系統(tǒng)。每種編程語(yǔ)言都有幫你轉(zhuǎn)換的函數(shù)。
（提示一下，十六進(jìn)制的使用是因?yàn)橐粋€(gè)十六進(jìn)制的數(shù)可以表示四個(gè)二進(jìn)制的數(shù)。因?yàn)槭M(jìn)制中的3和二進(jìn)制中的0011對(duì)應(yīng)，十六進(jìn)制的A和二進(jìn)制的1010對(duì)應(yīng)，所以十六進(jìn)制中的3A（十進(jìn)制的58）可以寫(xiě)成二進(jìn)制的00111010。十六進(jìn)制在編程中的使用是因?yàn)樗菍?duì)二進(jìn)制的簡(jiǎn)化。沒(méi)人喜歡寫(xiě)出的數(shù)全是0和1。）
就是這么多了。除了進(jìn)制系統(tǒng)以外，你可以已經(jīng)知道編程所需的數(shù)學(xué)知識(shí)了。雖然普遍認(rèn)為編程需要學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)，但實(shí)際上并不需要那么多。你可能為了編寫(xiě)一個(gè)程序，譬如說(shuō)地震模擬器，而需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。其實(shí)你更需要學(xué)習(xí)地震的數(shù)學(xué)，而不是因?yàn)橐帉?xiě)地震模擬器而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
某些編程領(lǐng)域中更為高級(jí)的數(shù)學(xué)
有一些領(lǐng)域中需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí)（但95%的軟件中，你都不需要知道它們。）
● 3D游戲和3D繪圖 — 3D通常需要涉及三角函數(shù)和線(xiàn)性代數(shù)（用矩陣來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)）。當(dāng)然，有許多3D圖形庫(kù)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了這些數(shù)學(xué)編程，你不需要知道這些數(shù)學(xué)。
● 2D物理（譬如憤怒的小鳥(niǎo)）和3D物理（譬如許多流行的3D游戲） — 為了寫(xiě)涉及到物理的編程，你需要學(xué)習(xí)一些物理方程和公式（尤其是力學(xué)，如彈力，重力，球滾下斜坡等物理。）然而，已經(jīng)有一些物理引擎和軟件庫(kù)幫你實(shí)現(xiàn)了，所以你也不需要知道游戲（如憤怒的小鳥(niǎo)）中的物理公式。
● 加密學(xué) — 事實(shí)上我指的是RSA。你需要知道質(zhì)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，以及如何求最大公約數(shù)（其實(shí)是個(gè)非常簡(jiǎn)單的算法，還有許多編程語(yǔ)言中都有g(shù)cd()函數(shù)，幫你求解最大公約數(shù)）其他的編碼大部分就是將數(shù)據(jù)按照某種步驟挪動(dòng)。舉個(gè)例子，下面的flash就是AES“Rijndael”編碼的步驟。所有的步驟包含用一些數(shù)減去另一些數(shù)，將行向上移，將列數(shù)字打亂，再作簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算。
如果你要寫(xiě)你自己的加密算法（通常不需要你做，因?yàn)橐呀?jīng)有許多很好的工具了，并且如果你不是加密學(xué)的專(zhuān)家的話(huà)，你的程序也許會(huì)很容易被破解。）如果你僅僅想加密一些數(shù)據(jù)的話(huà)，已經(jīng)有許多加密和解密的軟件庫(kù)了。
所以就算是以上的情況，你也不需要真正的知道3D圖像，物理或者加密的數(shù)學(xué)。你只需要學(xué)習(xí)運(yùn)用軟件庫(kù)就行了。
編程需要學(xué)習(xí)什么？
你需要學(xué)習(xí)的是如何建模和設(shè)計(jì)算法。這意味著，如何將真實(shí)世界的運(yùn)算或者數(shù)據(jù)處理抽象出來(lái)，寫(xiě)出代碼，讓計(jì)算機(jī)來(lái)幫你運(yùn)算。例如，在游戲“龍與地下城”（Dungeons and Dragons）中，角色和怪獸都有許多不同的戰(zhàn)斗統(tǒng)計(jì)值：
● 血點(diǎn)（Hit points）是一個(gè)人死前所能經(jīng)受的傷害值。越高的血點(diǎn)就意味著可以經(jīng)受更多的傷害。
● 防御等級(jí)（armor class）是對(duì)你的武器防御能力的量度。防御值越低，武器的防御能力越高。
● THAC0（讀作“thay-co”，“To Hit Armor Class 0”），是對(duì)一個(gè)人進(jìn)行有效攻擊的能力的測(cè)量。THAC0值越低，攻擊越準(zhǔn)。
● 武器的攻擊力用類(lèi)似1d6+2來(lái)表示，它表示搖一個(gè)六面骰得到的值，然后再加2。2d4就是搖2個(gè)4面骰，然后將它們相加。（“龍與地下城”采用的是4，6，8，10，12和20面骰。）
要看攻擊者打防御者，讓攻擊者搖動(dòng)一個(gè)20面骰。如果這個(gè)數(shù)字大于或等于攻擊者的THAC0減去防御者的防御能力，那么這個(gè)攻擊就成功，防御者將受到傷害。不然，防御者就阻擊了這個(gè)攻擊，并且不費(fèi)血。
我們假設(shè)兩個(gè)人物，Alice和Bob，她們具有以下值：
● Alice: HP 14, AC 5, THAC0 18, DAMAGE 1d6
● Bob: HP 12, AC 7, THAC0 16, DAMAGE 2d4
所以Alice有更多的血點(diǎn)和防御力（記住，AC越低越好）。但是Bob更可能成功擊中對(duì)方（記住，THAC0越低越好），并造成更多的傷害。我們說(shuō)Bob的攻擊力更強(qiáng)是因?yàn)?d4可以造成2-8點(diǎn)傷害，而Alice的1d6只能造成1-6點(diǎn)傷害。（如果你懂統(tǒng)計(jì)學(xué)，你可以計(jì)算出Bob的期望傷害值是5，比Alice的3。5要高。）
你會(huì)打賭Alice或者Bob會(huì)贏得比賽對(duì)嗎？很難講誰(shuí)會(huì)贏，他們看起來(lái)勢(shì)均力敵。盡管可能你的統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)得很好，但做這個(gè)計(jì)算將會(huì)十分頭疼。編寫(xiě)“龍與地下城”的程序（模擬戰(zhàn)斗過(guò)程），你甚至不需要知道統(tǒng)計(jì)學(xué)。僅僅需要運(yùn)行幾百次或者幾千次戰(zhàn)斗，看看誰(shuí)贏得更多。
下面是用Python寫(xiě)的程序：（下載代碼）
- import random, copy
- NUM_FIGHTS = 1
- VERBOSE = True
- # Lower thac0 and lower ac values are better. Higher damage & hp values are better.
- aliceTemplate = {'name': 'Alice', 'hp': 14, 'ac': 5, 'thac0': 18, 'dmgnum': 1, 'dmgsize':6, 'dmgmod': 0}
- bobTemplate = {'name': 'Bob', 'hp': 12, 'ac': 7, 'thac0': 16, 'dmgnum': 2, 'dmgsize':4, 'dmgmod': 0}
- def display(s):
- if VERBOSE:
- print(s)
- def attack(attacker, defender):
- if random.randint(1, 20) >= attacker['thac0'] - defender['ac']:
- damage = 0
- for i in range(attacker['dmgnum']):
- damage += random.randint(1, attacker['dmgsize'])
- damage += attacker['dmgmod']
- display('%s (%s hp) hits %s (%s hp) for %s points of damage. %s is reduced to %s hp.' % (attacker['name'], attacker['hp'], defender['name'], defender['hp'], damage, defender['name'], defender['hp'] - damage))
- defender['hp'] -= damage
- else:
- display('%s misses %s.' % (attacker['name'], defender['name']))
- aliceWins = 0
- bobWins = 0
- for i in range(NUM_FIGHTS):
- display('======================')
- display('Start of combat #%s' % (i+1))
- alice = copy.deepcopy(aliceTemplate)
- bob = copy.deepcopy(bobTemplate)
- while True:
- attack(alice, bob)
- if bob['hp'] <= 0:
- break
- attack(bob, alice)
- if alice['hp'] <= 0:
- break
- if alice['hp'] <= 0:
- display('Alice has died.')
- bobWins += 1
- if bob['hp'] <= 0:
- display('Bob has died.')
- aliceWins += 1
- print()
- print('Alice won %s (%s%%) fights. Bob won %s (%s%%) fights.' % (aliceWins, round(aliceWins / NUM_FIGHTS * 100, 2), bobWins, round(bobWins / NUM_FIGHTS * 100, 2)))
當(dāng)運(yùn)行這個(gè)程序時(shí)，你會(huì)看到：
- Start of combat #1
- Alice misses Bob.
- Bob (12 hp) hits Alice (14 hp) for 6 points of damage. Alice is reduced to 8 hp.
- Alice misses Bob.
- Bob misses Alice.
- Alice misses Bob.
- Bob misses Alice.
- Alice misses Bob.
- Bob misses Alice.
- Alice (8 hp) hits Bob (12 hp) for 5 points of damage. Bob is reduced to 7 hp.
- Bob misses Alice.
- Alice misses Bob.
- Bob misses Alice.
- Alice misses Bob.
- Bob (7 hp) hits Alice (8 hp) for 2 points of damage. Alice is reduced to 6 hp.
- Alice (6 hp) hits Bob (7 hp) for 6 points of damage. Bob is reduced to 1 hp.
- Bob misses Alice.
- Alice (6 hp) hits Bob (1 hp) for 1 points of damage. Bob is reduced to 0 hp.
- Bob has died.
- Alice won 1 (100.0%) fights. Bob won 0 (0.0%) fights.
但是可能Alice正好在某一次戰(zhàn)斗中很幸運(yùn)。讓我們關(guān)掉輸出再重新運(yùn)行程序（在屏幕輸出比運(yùn)行程序更耗時(shí)間），當(dāng)戰(zhàn)斗次數(shù)達(dá)到30，000次時(shí)（將NUM_FIGHTS改成30000，VERBOSE變量變成False）：
- Alice 贏得12909 (43.03%)次戰(zhàn)斗. Bob贏得17091 (56.97%)戰(zhàn)斗。
所以我們看到使用上面的數(shù)值，Bob稍稍占先。電腦進(jìn)行了30，000次戰(zhàn)斗模擬。如果我們用筆和紙還有骰來(lái)進(jìn)行30000次戰(zhàn)斗模擬的話(huà)，可能需要幾個(gè)月來(lái)算出結(jié)果，而我的筆記本僅用了8秒。
那么如果Alice的血點(diǎn)從14增加到20呢。誰(shuí)會(huì)贏呢？
- Alice贏得19438 (64.79%)次戰(zhàn)斗. Bob贏得10562 (35.21%)次戰(zhàn)斗.
我們看到給Alice增加6點(diǎn)血點(diǎn)，結(jié)果倒過(guò)來(lái)了，Alice占先了。那么如果Alice的血點(diǎn)只是增加到16呢？
- Alice贏得15176 (50.59%)次戰(zhàn)斗啊. Bob贏得14824 (49.41%)次戰(zhàn)斗.
所以?xún)H僅增加2個(gè)血點(diǎn)，就已經(jīng)足夠扳回Bob更強(qiáng)攻擊力的勝算。
來(lái)看這個(gè)程序，它只用了加減乘除來(lái)計(jì)算一個(gè)百分比。甚至在更復(fù)雜的程序中，需要表示magic spells，治愈部位，多次攻擊，在戰(zhàn)斗中切換武器等不同效果時(shí)，我們也不需要知道更多的數(shù)學(xué)了。
當(dāng)然，去學(xué)更多的數(shù)學(xué)吧。可以讓你成為更出色的程序員。但是為了學(xué)習(xí)編程需要多少數(shù)學(xué)？真的非常少。
更新：我想我應(yīng)該在基本知識(shí)點(diǎn)中增加基本代數(shù)，但僅僅需要知道的如 如果X * 3 = 12，知道X等于4。
英文原文：Al Sweigart
