一文講透深入理解邏輯回歸
什么是邏輯回歸
本文討論邏輯回歸的基礎知識及其在Python中的實現。邏輯回歸基本上是一種有監督分類算法。在分類問題中，目標變量（或輸出）y 對于給定的一組特征（或輸入）X ，且X只能取離散值。
有一點與流行的看法相反地是，我認為邏輯回歸是一種回歸模型。該模型建立一個回歸模型來預測給定數據條目屬于編號為“1”的類別的概率。就像線性回歸假設數據遵循線性函數一樣，邏輯回歸只是使用sigmoid函數對數據建模。
僅當將決策閾值引入時，邏輯回歸才成為一種分類技術。閾值的設置是Logistic回歸的一個很重要的方面，依賴于分類問題本身。
閾值的取值主要受精確率和召回率的影響。理想情況下，我們希望精確率和召回率都為1，但這種情況很少發生。
高低精度/召回情況
在Precision-Recall平衡的情況下，我們使用以下參數來決定閾值：
- 低精度/高召回率：在我們一定要報出來但精度不要求高的應用中，我們選擇具有低精度/高召回率的模型。例如，在癌癥診斷應用程序中，我們不希望任何受影響的患者被歸類為未受影響，而無需過多注意患者是否被錯誤診斷為癌癥。這是因為沒有癌癥可以通過進一步的醫學疾病檢測到，但不能漏篩，如果漏篩會對患者造成嚴重后果，精度保證可以接著后續檢查得出。
- 高精度/低召回率：在我們想要預測準的場景下，我們要選擇具有高精度/低召回率的模型。例如，如果我們要對客戶進行分類，判斷他們對個性化廣告的反應是積極還是消極，我們希望絕對確定客戶會對廣告做出積極反應，否則錯誤預測消極反應可能會導致潛在銷售損失顧客。
根據類別的數量，邏輯回歸可以分為：
- 二項式：目標變量只能有兩種可能的類型：“0”或“1”，可能代表“贏”與“輸”、“通過”與“失敗”、“死”與“活”等。
- 多項式：目標變量可以有 3 種或更多可能的類型，這些類型沒有順序（即類型沒有數量意義），如“疾病 A”、“疾病 B”和“疾病 C”。
- 序數：它處理具有有序類別的目標變量。例如，考試成績可以分為：“很差”、“差”、“好”、“很好”。在這里，可以為每個類別分配一個分數，例如 0、1、2、3。
舉個栗子
首先，我們探索邏輯回歸的最簡單形式，即二項式邏輯回歸。考慮一個示例數據集，它將學習的小時數與考試結果進行映射。結果只能取兩個值，即 passed(1) 或 failed(0)：
小時(x) 通過(y)
0.50 0
0.75 0
1.00 0
1.25 0
1.50 1
1.75 0
2.00 1
2.25 1
2.50 1
2.75 1
3.00 0
3.25 0
3.50 0
3.75 1
4.00 0
4.25 0
4.50 1
4.75 0
5.00 0
5.50 0所以，我們有
即 y 是一個分類目標變量，它只能采用兩種可能的類型：“0”或“1”。
為了推廣我們的模型，我們假設：
該數據集具有“p”個特征變量和“n”個觀測值。特征矩陣表示為：
然后，以更緊湊的形式，
所以，
稱為邏輯函數或sigmoid函數。
這是顯示 g(z) 的圖：
從上圖我們可以推斷：
Python代碼示例
import csv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def loadCSV(filename):
'''
function to load dataset
'''
with open(filename,"r") as csvfile:
lines = csv.reader(csvfile)
dataset = list(lines)
for i in range(len(dataset)):
dataset[i] = [float(x) for x in dataset[i]]
return np.array(dataset)
def normalize(X):
'''
function to normalize feature matrix, X
'''
mins = np.min(X, axis = 0)
maxs = np.max(X, axis = 0)
rng = maxs - mins
norm_X = 1 - ((maxs - X)/rng)
return norm_X
def logistic_func(beta, X):
'''
logistic(sigmoid) function
'''
return 1.0/(1 + np.exp(-np.dot(X, beta.T)))
def log_gradient(beta, X, y):
'''
logistic gradient function
'''
first_calc = logistic_func(beta, X) - y.reshape(X.shape[0], -1)
final_calc = np.dot(first_calc.T, X)
return final_calc
def cost_func(beta, X, y):
'''
cost function, J
'''
log_func_v = logistic_func(beta, X)
y = np.squeeze(y)
step1 = y * np.log(log_func_v)
step2 = (1 - y) * np.log(1 - log_func_v)
final = -step1 - step2
return np.mean(final)
def grad_desc(X, y, beta, lr=.01, converge_change=.001):
'''
gradient descent function
'''
cost = cost_func(beta, X, y)
change_cost = 1
num_iter = 1
while(change_cost > converge_change):
old_cost = cost
beta = beta - (lr * log_gradient(beta, X, y))
cost = cost_func(beta, X, y)
change_cost = old_cost - cost
num_iter += 1
return beta, num_iter
def pred_values(beta, X):
'''
function to predict labels
'''
pred_prob = logistic_func(beta, X)
pred_value = np.where(pred_prob >= .5, 1, 0)
return np.squeeze(pred_value)
def plot_reg(X, y, beta):
'''
function to plot decision boundary
'''
# labelled observations
x_0 = X[np.where(y == 0.0)]
x_1 = X[np.where(y == 1.0)]
# plotting points with diff color for diff label
plt.scatter([x_0[:, 1]], [x_0[:, 2]], c='b', label='y = 0')
plt.scatter([x_1[:, 1]], [x_1[:, 2]], c='r', label='y = 1')
# plotting decision boundary
x1 = np.arange(0, 1, 0.1)
x2 = -(beta[0,0] + beta[0,1]*x1)/beta[0,2]
plt.plot(x1, x2, c='k', label='reg line')
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.legend()
plt.show()
if __name__ == "__main__":
# load the dataset
dataset = loadCSV('dataset1.csv')
# normalizing feature matrix
X = normalize(dataset[:, :-1])
# stacking columns with all ones in feature matrix
X = np.hstack((np.matrix(np.ones(X.shape[0])).T, X))
# response vector
y = dataset[:, -1]
# initial beta values
beta = np.matrix(np.zeros(X.shape[1]))
# beta values after running gradient descent
beta, num_iter = grad_desc(X, y, beta)
# estimated beta values and number of iterations
print("Estimated regression coefficients:", beta)
print("No. of iterations:", num_iter)
# predicted labels
y_pred = pred_values(beta, X)
# number of correctly predicted labels
print("Correctly predicted labels:", np.sum(y == y_pred))
# plotting regression line
plot_reg(X, y, beta)最終結果：
估計回歸系數：[[ 1.70474504 15.04062212 -20.47216021]]
迭代次數：2612
正確預測標簽：100
本文轉載自??????沐白AI筆記??????，作者：楊沐白
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