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 一、前言

計算機最喜歡的數字就是 0 和 1，在 CPU 的世界中，它只認識這兩個數字，即使是強大的操作系統，也都是由 0 和 1 組成的。

作為一名軟件開發者，入門學習的內容可能就是認識這 2 個既簡單、又強大的數字。但是大部分人，對于二進制、二進制計算、原碼、反碼以及補碼的認識，仍處于機械的強制記憶階段。尤其是對一些編碼和計算，仍然處于模糊的認識階段，例如：

1. CPU 是如何表示負數的?
2. 為什么補碼可以用來表示負數?
3. 一個 8 位的二進制數，最小值為什么是 -128，而不是 -127?
4. CPU 中的加法器，為什么可以連同符號位一起運算?

這篇文章我們就來聊聊這個最最基礎的內容，幫助你來理解二進制計算的相關內容，看完這篇文章之后，不僅知其然，更能知其所以然!

PS: 這里有點高調了，最終的所以然部分，應該涉及到數學證明這一層次了，本文并不會涉及到求證過程。

二、從十進制到二進制

1. 十進制

作為數學計算能力強大的中國，10 以內的加減法，應該是在幼兒園階段就完成了。如果你不屬于這個范圍，說明你上的是假幼兒園。

我們來快速復習一下關于十進制運算的一些基本知識:

1. 每一個數位上包括的數字為 0 到 9;
2. 每一個數位上的數，是它右側數位的 10 倍;
3. 兩個數相加時，相同數位上的數相加之和如果大于等于 10，就向前進 1 位，即：滿十進一;

具體來看就是：

1. 從右數第一個位數(個位)上的數字代表多少個 1;
2. 從右數第二個位數(十位)上的數字代表多少個 10;
3. 從右數第三個位數(百位)上的數字代表多少個 100;
4. 從右數第四個位數(千位)上的數字代表多少個 1000;

十進制的數，可以使用后綴字母 D 來表示，也可以省略。例如：十進制的 1234 這個數字，個位上的數是 4， 十位上的數是 3， 百位上的數是 2，千位上的數是 1(一般是從最右側的個位說起)，每一個數位上的數比它右側大十倍。如下圖：

 

十進制數據，也稱作基于十的表示法。

2. 二進制

那么對于二進制呢?直接套用上面十進制的概念，然后把 10 換成 2 即可(目前先忽略符號位)：

1. 每一個數位上包括的數字為 0 和 1;
2. 每一個數位上的數，是它右側數位的 2 倍;
3. 兩個數相加時，相同數位上的數相加之和如果大于等于 2，就向前進 1 位，即：滿二進一;

具體來看就是：

1. 從右數第一個位數上的數字代表多少個 1;
2. 從右數第二個位數上的數字代表多少個 2;
3. 從右數第三個位數上的數字代表多少個 4;
4. 從右數第四個位數上的數字代表多少個 8;

記住幾個重點：二進制數中只包含 0 和 1 兩個數字，在相加時滿二進一。

在十進制中，每一個數位我們給它進行了專門的命名(個位、十位、百位...)，但是二進制沒有類似的命名。

二進制的數，使用后綴字母 B 來表示，例如：二進制的 1111B 這個數字，用圖來表示權重如下：

換算成十進制數就是 15(1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 15)。

在二進制中，每一位稱為一個比特(bit)，如果用 8 個 bit 來表示一個二進制數，最小值是 0000_00000，最大值是 1111_1111;

如果用 16 個 bit 來表示一個二進制數，最小值是 0000_0000_0000_0000，最大值是 1111_1111_1111_1111。(為了便于觀察，每 4 個 bit 之間，加上了分隔符)

在早期的計算機中，8 位的處理器很常見，于是就給它一個專門的名字：字節(Byte)。16 位的二進制數就是 2 個字節，也稱作：字(Word)。

3. 擴展到十六進制

原理還是相同的：直接把十進制中的 10 換成 16 即可：

1. 每一個數位上包括的數字為 0 到 9，A 到 F;
2. 每一個數位上的數，是它右側數位的 16 倍;
3. 兩個數相加時，相同數位上的數相加之和如果大于等于 16，就向前進 1 位，即：滿十六進一;

具體來看就是：

1. 從右數第一個位數上的數字代表多少個 1;
2. 從右數第二個位數上的數字代表多少個 16;
3. 從右數第三個位數上的數字代表多少個 256;
4. 從右數第四個位數上的數字代表多少個 4096;

在十六進制中，需要十六個數字來表示 0 到 15 這些數字，0 到 9 比較好處理，但是從 10 到 15，我們就需要找一些記號來表示，于是人們就想到用 A,B,C,D,E,F 這幾個字母來分別表示 10 到 15 這個 6 個數字。

十六進制數據，使用后綴字母 H 來表示，有些場合也可以使用前綴 0x 來表示，本質上沒有區別。例如：十六進制數字 1A2BH(或者寫作 0x1A2B)，每一個數位上的權重如圖：

換算成十進制數就是 6699(1 * 4096 + 10 * 256 + 2 * 16 + 11 * 1 = 6699)。

4. 擴展到任意進制

原理仍然相同：直接把十進制中的 10 換成目標進制，例如 5 進制：

1. 每一個數位上包括的數字為 0 到 4;
2. 每一個數位上的數，是它右側數位的 5 倍;
3. 兩個數相加時，相同數位上的數相加之和如果大于等于 5，就向前進 1 位，即：滿五進一;

具體來看就是：

1. 從右數第一個位數上的數字代表多少個 1;
2. 從右數第二個位數上的數字代表多少個 5;
3. 從右數第三個位數上的數字代表多少個 25;
4. 從右數第四個位數上的數字代表多少個 125;

再看一個圖加深印象：

三、從十進制加法到二進制加法

1. 十進制加法

這個就不必多說了，規則只有 2 條：

1. 兩個數，相同數位上的數字進行相加;
2. 每一個數位上的相加結果，滿十進一;

例如：

個位上：4 + 8，結果是 12，但是十進制中沒有 12 這個數字，因此向左側的高位進1，個位就剩下：12 - 10 = 2。

十位上：7 + 2，再加上進位 1，結果是 10，但是十進制中沒有 10 這個數字，因此向左側的高位進1，十位變成：10 - 10 = 0。

百位上：1 加上進位 1，結果是 2。

2. 二進制加法

第 0 位：0 + 0 結果為 0;

第 1 位：1 + 0 結果為 1;

第 2 位：1 + 1 結果為 2，但是二進制中沒有 2 這個數字，因此需要向左側的高位進 1，于是第 2 位上就剩下 2 - 2 = 0。

第 3 位：1 + 1 等于 2，再加上進位 1，結果就是 3，但是二進制中沒有 3 這個數字，因此需要向左側的高位進 1，于是第 3 位上就剩下 3 - 2 = 1。

第 4，5，6，7位計算均是如此。

3. 十六進制加法

第 0 位：E + C，結果為 26，但是十六進制中沒有 26 這個數字，因此需要向左側的高位進 1，于是第 0 位就剩下 26 - 16 = A。

第 1 位：A + 1 等于 B，再加上進位 1，結果就是 C，十六機制中有這個數字。

四、把負數計算轉換成正數計算

1. 原碼

原碼(true form)是一種計算機中對數字的二進制定點表示方法。原碼表示法在數值前面增加了一位符號位(即最高位為符號位)：正數該位為0，負數該位為1(0有兩種表示：+0和-0)，其余位表示數值的大小。

例如，用 8 個 bit (8 位二進制數)來表示一個數，+11 的原碼為 0000_1011，-11 的原碼就是 1000_1011。

2. 把負數計算變成正數計算

我們都知道，CPU 中有加法器，好像從來沒有聽說過“減法器”。例如計算 5 + 8，轉換成二進制來計算：

再來計算一下減法：5 - 8，對于 CPU 來說，只會計算 5 + 8， 但是不會計算 5 - 8。

但是可以轉換一下思路，把減法變成加法 5 + (-8)，這樣不就可以計算了嗎?于是計算機先驅者就發明了反碼：

1. 正數的反碼：保持原碼不變;
2. 負數的反碼：原碼中符號位不變，其余全部取反(-8 的原碼是 1000_1000，反碼就是：1111_0111);

于是 5 + (-8)的計算過程就是：

此時，就完美解決了減法問題，那么乘法(多加幾次)、除法(多減幾次)問題也就跟著解決了。至于如何從數學的角度來證明，那就要問那些數學家了!

3. 新問題：如何表示0?

我們現在可以小結一下反碼的表示范圍(記住：第一位是符號位)：

1. 正數的表示范圍：0000_0000 ~ 0111_1111，也就是十進制的 +0 ~ +127 這 128 個數;
2. 負數的表示范圍：1000_0000 ~ 1111_1111，也就是十進制的 -127 ~ -0 這 128 個數;

有沒有發現問題：怎么存在 +0 和 -0 這兩個數?而且他們的編碼還不一樣：+0 對應 0000_0000，-0 對應 1111_1111。

CPU 雖然就是一個傻瓜，讓它干啥就干啥，但是 CPU 最不能容忍的就是不確定性!我們都知道 +0 == -0 == 0，它們是同一個數字，但是在二進制編碼中，居然有兩個編碼來表示同一個數。

偉大的計算機先驅者又做了這樣一個決定：正數保持不變，負數整體減 1。

也就是說：符號位不變，值整體加1，如下：

這樣就成功解決了 -0、+0 的問題!

現在 一個 8 位的二進制就可以表示的范圍是：-128 ~ 127，并且中間沒有任何重復、遺漏的數字。

既然每一個二進制表示的值發生了變化，那么繼續稱之為反碼就不準確了，此時給它們一個新的稱呼：補碼，也就是說：上圖就變成了這樣：

小結一下補碼的定義：

1. 正數的補碼：保持原碼不變;
2. 負數的補碼：原碼中符號位不變，其余先全部取反，然后再加1(例如：-8 的原碼是 1000_1000，補碼就是 1111_1000);

此時，我們僅僅是解決了二級制編碼的表示問題，那么：補碼能直接參與運算嗎?運算結果會出現什么問題?

4. 補碼的計算

我們先看一下這個問題：假設現在時間是 1 點整，但是你的手表進水了，它顯示的是 3 點整，現在你怎么把時間調整到 1 點的位置?

• 方法1：把時針逆時針撥動 2 個小時(3 - 2 = 1);
• 方法2：把時針順時針撥動 9 個小時到 12 點，然后再撥動 1 個小時(3 + 10 = 1);

對于時鐘表盤來說，每 12 個小時為一圈，可以認為：-2 == 10，-1 = 11， -3 = 9，同樣的：-2 == 10， -2 == 22， -2 == 34，...

可以看到規律是：-2、10、22、34 這些數字對 12 取模都得到同一個數(取正數)，在數學上，兩個整數除以“同一個整數”，若得相同余數，則這兩個整數同余。

表盤中的 12 就是這個“同一個整數”，可以看到這是一個可“溢出”的系統，-2、10、22、34 這幾個數在表盤上表示的是一樣的數，所以說這幾個整數同余。

也就是說：在計算的時候，可以用 10、22、34 這幾個數字來替換 -2，替換之后的計算結果是相同的。

那么對于一個 8 位 的二進制數來說，最多只有 8 位，在計算過程中，如果最高位產生了進位，就會被丟棄，所以它也是一個可“溢出”的系統。那么這里的“同一個整數”是多少呢?

從前面的內容中可以看到，使用補碼表示的 8 位二進制數表示的范圍是 -128 ~ 127，一共是256 個數，所以如果對 256 取模，得到相同的余數，那么這些數就是同余數。

例如：-2 和 254 對 256 取模，得到相同的余數，因此它倆就是同余數，那么在計算的時候，就可以用 254 來代替 -2。

那么我們通過計算 3 + (-2) 來驗證一下。

(1) 利用同余數來計算

3 + (-2) == 3 + 254 = 257

257 超過了最大的表示范圍，所以溢出，結果就是 257 對 256 取模，結果為 1。

(2) 直接用補碼來計算

3 的補碼是 0000_0011，-2 的補碼是 1111_1110，在計算的時候，把符號位也參與運算：

結果也是 1，也就是說：

在二進制計算中，使用補碼來計算，“天然”就滿足了“同余定理”。

細心的讀者可能已經發現了：-2 的二進制補碼表示，與 254 的二進制自然表示，它們的形式是一樣的!

這種“天然”性，是巧合?還是計算機前輩的設計結果?!

五、總結

這篇文章，我們探討了計算機系統的軟件基石：二進制系統，主要的目的是幫助你理解二進制的表示、計算方式。