前言

這是一個比較古老的話題，三年半之前，老趙就此寫過一篇很文章《使用Lambda表達式編寫遞歸函數》。其中提出了偽遞歸的概念，提出了自己的解決方式，也引出了裝配腦袋 使用不動點組合子 的解決辦法。此后好長一段時間，偽遞歸和不動點組合子成了兩個園子里的兩大熱門話題。

當年我也寫了篇文章《反駁 老趙 之 “偽”遞歸》參與了爭論，不過對老趙提出的解決方式及裝配腦袋的不動點組合子思路，一直沒弄清楚。中間一段時間，工作忙，忘卻了。

最近比較輕閑，靜下心來學習了下相關的的一些理論，并深入思考，略有所悟，在此和大家分享下。

本文及后續章節會用到相當復雜的泛型及 lambda 表達式，請做好相關技術和心理準備。

使用 Lambda 表達式構建遞歸函數

很多朋友認為這很容易，隨手便可用 lambda 表達式寫出一個階乘遞歸：

Func<int, int> fact = x => x <= 1 ? 1 : x * fact(x - 1); 

不過，很抱歉，這行代碼是無法通過編譯的，VS 提示：使用了未賦值的變量 fact。

有種簡單的解決辦法，把上面這行代碼拆成兩行：

Func<int, int> fact = null;  
fact = x => x <= 1 ? 1 : x * fact(x - 1); 

不過這種寫法也有問題，老趙說得比較清楚，我就不在贅述了，請查看《使用Lambda表達式編寫遞歸函數》一文中偽遞歸部分。

那么如何解決 lambda 表達式構建遞歸函數的問題呢？根據函數式編程理論，我們可以使用不定點組合子。

在學習不定點組合子之前，需要先了解更基礎 λ 演算。

λ 演算

λ 演算的基礎請大家參考維基百科：

http://zh.wikipedia.org/wiki/Lambda_演算

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus

非形式化的描述

請確保你已經理解了文中幾個表達式的等價關系：

(λf. f 3)(λx. x + 2) == (λx. x + 2) 3 == 3 + 2   
(λx. λy. x - y) 7 2 == (λy.7 - y) 2 == 7 - 2 

還清楚知道函數應用（application）的概念及其左結合性：

f x y == (f x) y 

還有它的各種等價變換

f x y == (f x) y = (f(x))y = (f(x))(y) = f(x)(y) 

歸約

并會運用三個常用的規約（Reduction）

1.α-變換（α-conversion）

2.β-歸約（β-reduction）

3.η-變換（η-conversion）

不動點組合子

請參考：

http://zh.wikipedia.org/wiki/不動點組合子

http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed-point_combinator

定義

不動點組合子（Fixed-point combinator，或不動點算子，使用 FIX 表示）是計算其他函數的一個不動點的高階函數。

不動點算子具有以下特性，對于任何函數 f 都有：

FIX ff = f (FIX f) 

定義匿名的遞歸函數

不動點組合子允許定義匿名的遞歸函數，具體來說是將一個非遞歸的單步函數（只執行遞歸中的一步，a single step of this recursion，使用 g 表示）轉換為遞歸函數。

如下是階乘的單步函數定義：

g = λf. λn. (ISZERO n) 1 (MULT n (f (PRED n))) 

FIX g 可獲取到匿名的遞歸函數：

FIX g = λn. (ISZERO n) 1 (MULT n ((FIX g) (PRED n))) 

向 FIX g 的參數 n 傳入值 5，可最終得出：

FIX g 55 = 5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1)))) = 120 

常用的不定點組合子

不動點組合子中最有名的（也可能是最簡單的）是 Y 組合子：

Y = λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) 

另一個常見不動點組合子是圖靈不動點組合子（阿蘭·圖靈發現的）:

Θ = (λx. λy. (y (x x y))) (λx.λy.(y (x x y))) 

傳值調用（call-by-value）

在 λ 演算中，每個表達式（lambda term）都代表一個只有單獨參數的函數，這個函數的參數本身也是一個只有單一參數的函數，同時，函數的值是又一個只有單一參數的函數。

根據此描述，可知 λ 演算中函數只有一個參數，這個參數是一個函數，而不是一個值。而對于我們常見的遞歸（階乘、斐波那契數列求值），參數都是值（自然數）。兩者是不匹配的。

為了適當傳值調用，需要將不動點組合子 η-展開：

簡單而言 η-變換 是說 λx. f x 和 f 可以互相轉換。從 f 這種簡單形式 η-變換 為 λx. f x 復雜形式，稱為 η-展開。

對于 Y 組合子，通常是將其中的 (x x) η-展開為  λy. x x y，由此得出傳值調用版本的 Y組合子（也稱為 Z 組合子）：

Y = λf. (λx. f (λy. x x y)) (λx. f (λy. x x y)) 

如果不展開呢？會怎樣？

如果使用不展開的不動點算子，也能寫出可編譯通過的代碼，但最終執行會陷入死循環，直至堆棧溢出。

小結

后續章節將使用以下符號和名稱，不再另行說明：

1.FIX：不動點組合子

2.g：單步函數

3.n：表示遞歸函數的參數（在階乘、斐波那契數列求值中是一個自然數）

對于 FIX、g、n：

1.FIX g： 將會生成對應的遞歸函數

2.FIX g n： 將進行遞歸運算

λ 演算表達式與 c# lambda 表達式的對應關系

λx. x + 2

λx. x + 2 在 c#中的 lambda 表達式可表式為：x => x+ 2；

假定 x 的 int 類型，可寫作：

Func<int, int> f = x => x + 2; 

相應 (λx. x + 2) 1 可寫為：

var result = f(1);    // 結果為 3 

λx. λy. x + y

復雜點，λx. λy. x + y 用 c# 的 lambda 表達式表示為：x => y => x + y；

x, y 類型為均整數時，可寫作：

Func<int, Func<int, int>> f = x => y => x + y; 

相應 (λx. λy. x + y) 1 2 便是：

var result = f(1)(2);     // 結果為 3 

λx. λy. λz. x + y + z

再復雜些，λx. λy. λz. x + y + z 表示為：x => y=> z => x + y + z，三個參數都為 int 時 c# 代碼：

Func<int, Func<int, Func<int, int>>> f = x => y => z => x + y + z; 

可如下調用：

// (λx. λy. λz. x + y + z) 1 2 3  
var result1 = f(1)(2)(3);    //結果為 6  
 
// (λx. λy. λz. x + y + z) 1  →  λy. λz. 1 + y + z   
Func<int, Func<int, int>> g = f(1);   
// (λy. λz. 1 + y + z) 2  →  λz. 1 + 2 + z  →  λz. 3 + z  
Func<int, int> h = g(2);  
// (λz. 3 + z) 3  →  3 + 3  →  6  
var result2 = h(3);        // 結果為 6 

每 5 行，向 f 傳入一個常量 1，返回一個新的方法 g；再經過第 7 行，向 g 傳入常量 2，再次返回一個新方法 h。

方法 h 只能接受一個參數，***得出 h(3) = 6。

為什么不是  (x, y, z) => x + y + z？

也許你會有疑問，不就是 x、y、z 三個整數加起來嘛，為什么搞這么復雜，像下面這樣不是更簡單嗎？

Func<int, int, int, int> f = (x, y, z) => x + y + z;  
var result = f(1, 2, 3); 

確實簡單，不過：

在 λ 演算中，每個表達式（lambda term）都代表一個只有單獨參數的函數，這個函數的參數本身也是一個只有單一參數的函數，同時，函數的值是又一個只有單一參數的函數。

注意都是只有一個參數，對應到 c# 的 lambda 表達式，也應是一個參數，所以是：x => y=> z => x + y + z。

總結

λ 演算表達式	c# lambda 表達式
λx. x + 2	x => x+ 2
λx. λy. x + y	x => y => x + y
λx. λy. λz. x + y + z	x => y=> z => x + y + z

好像有些規律：對于一個 Lambda terms，去掉“λ”并把“.”替換為”=>”便可變成對應 lambda 表達式。（注意，這個規律不嚴謹！）

練習一下，看看下面這個如何轉為 lambda 表達式：

λx. λn. (g (x x) n) 

先對它進行一步演算得出：

λx. λn. (g (x(x)) (n))  

運用上的的規律，可以寫出 lambda 表達式：x => n => g((x(x))(n)

對于復雜點的如：λx. f ( λv. (x x) v)，這條規律就不適用了。文后續部分會通過演算繞開這種復雜的轉換，不對此進行討論。

理解本文中的泛型和 lambda 表達式

對于上一部分使用的泛型和 lambda 表達式，尤其是下面這行代碼，你需要花點時間去理理思路（因為后續章節中泛型要遠比此復雜）：

Func<int, Func<int, Func<int, int>>> f = x => y => z => x + y + z; 

如果對你對泛型和 lambda 認識不是非常深刻的話，難度有點大，不妨先從下面這個簡單點的開始：

Func<int, Func<int, int>> f = x => y => x + y; 

換種寫法，或許有助于理解：

Func<int, Func<int, int>>  f = x => {                
    Func<int, int> g =  y => { return x + y ;};  
    return g;  
}; 

本文簡單闡述了 lambda 構建遞歸函數的問題，粗略提及 λ 演算及不動點組合子的知識，并總結了下 λ 演算表達式與 c# lambda 表達式的對應關系。

原文鏈接：http://www.cnblogs.com/ldp615/archive/2013/04/09/recursive-lambda-expressions-1.html