[[391962]]

本文轉載自微信公眾號「bigsai」，作者bigsai。轉載本文請聯系bigsai公眾號。

前言

約瑟夫環問題是算法中相當經典的一個問題，其問題理解是相當容易的，并且問題描述有非常多的版本，并且約瑟夫環問題還有很多變形，這篇約瑟夫問題的講解，一定可以帶你理解通通!

什么是約瑟夫環問題?

約瑟夫環問題在不同平臺被"優化"描述的不一樣，例如在牛客劍指offer叫孩子們的游戲，還有叫殺人游戲，點名……最直接的感覺還是力扣上劍指offer62的描述：圓圈中最后剩下的數字。

問題描述：

0,1,···,n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈里刪除第m個數字(刪除后從下一個數字開始計數)。求出這個圓圈里剩下的最后一個數字。

例如，0、1、2、3、4這5個數字組成一個圓圈，從數字0開始每次刪除第3個數字，則刪除的前4個數字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的數字是3。

當然，這里考慮m，n都是正常的數據范圍，其中

• 1 <= n <= 10^5
• 1 <= m <= 10^6

對于這個問題，你可能腦海中有了印象，想著小時候村里一群孩子坐在一起，從某個開始報數然后數到幾出列，下一個重新開始一直到最后一個。不同人用不同方法解決，青銅直接模擬，鉆石會優化一下，王者用公式，下面詳細給大家講解思路。

循環鏈表模擬

這個問題最本質其實就是循環鏈表的問題，圍成一個圈之后，就沒有結尾這就是一個典型的循環鏈表嘛!一個一個順序報數，那不就是鏈表的遍歷枚舉嘛!數到對應數字的出列，這不就是循環鏈表的刪除嘛!

鏈表模擬

并且這里還有非常方便的地方：

• 循環鏈表的向下枚舉不需要考慮頭尾問題，直接node=node.next向下
• 循環鏈表的刪除也不需要考慮頭尾問題，直接node.next=node.next.next刪除

當然也有一些需要注意的地方

• 形成環形鏈表很簡單，只需要將普通鏈表的最后一個節點的next指向第一個節點即可
• 循環鏈表中只有一個節點的時候停止返回，即node.next=node的時候
• 刪除，需要找到待刪除的前面節點，所以我們刪除計數的時候要少計一位，利用前面的那個節點直接刪除后面節點即可

這樣，思路明確，直接開擼代碼：

class Solution { 
    class node//鏈表節點 
    { 
        int val; 
        public node(int value) { 
            this.val=value; 
        } 
        node next; 
    } 
    public int lastRemaining(int n, int m) { 
        if(m==1)return n-1;//一次一個直接返回最后一個即可 
        node head=new node(0); 
        node team=head;//創建一個鏈表 
        for(int i=1;i<n;i++) 
        { 
            team.next=new node(i); 
            team=team.next; 
        } 
        team.next=head;//使形成環 
        int index=0;//從0開始計數 
        while (head.next!=head) {//當剩余節點不止一個的時候 
            //如果index=m-2 那就說明下個節點(m-1)該刪除了 
            if(index==m-2) 
            { 
                head.next=head.next.next; 
                index=0; 
            } 
            else { 
                index++; 
            } 
            head=head.next; 
        } 
        return head.val; 
    } 
} 

當然，這種算法太復雜了，大部分的OJ你提交上去是無法AC的，因為超時太嚴重了，具體的我們可以下面分析。

有序集合模擬

上面使用鏈表直接模擬游戲過程會造成非常嚴重非常嚴重的超時，n個數字，數到第m個出列。因為m如果非常大遠遠大于m，那么將進行很多次轉圈圈。

所以我們可以利用求余的方法判斷等價最低的枚舉次數，然后將其刪除即可，在這里你可以繼續使用自建鏈表去模擬，上面的while循環以及上面只需添加一個記錄長度的每次求余算圈數即可：

int len=n; 
while (head.next!=head) { 
  if(index==(m-2)%len) 
  { 
    head.next=head.next.next; 
    index=0; 
    len--; 
  } 
  else { 
    index++; 
  } 
  head=head.next; 
} 

但我們很多時候不會手動去寫一個鏈表模擬，我們會借助ArrayList和LinkedList去模擬，如果使用LinkedList其底層也是鏈表，使用ArrayList的話其底層數據結構是數組。不過在使用List其代碼方法一致。

List可以直接知道長度，也可刪除元素，使用List的難點是一個順序表怎么模擬成循環鏈表?

咱們仔細思考：假設當前長度為n，數到第m個(通過上面分析可以求余讓這個有效的m%n不大于n)刪除，在index位置刪除。那么刪除后剩下的就是n-1長度，index位置就是表示第一個計數的位置，我們可以通過求余得知走下一個刪除需要多少步，那么下個位置怎么確定呢?

刪除3號下標

你可以分類討論看看走的次數是否越界，但這里有更巧妙的方法，可以直接求的下一次具體的位置，公式就是為：

index=(index+m-1)%(list.size()); 

因為index是從1計數，如果是循環的再往前m-1個就是真正的位置，但是這里可以先假設先將這個有序集合的長度擴大若干倍，然后從index計數開始找到假設不循環的位置index2，最后我們將這個位置index2%(集合長度)即為真正的長度。

真實位置計算

使用這個公式一舉幾得，既能把上面m過大循環過多的情況解決，又能找到真實的位置，就是將這個環先假設成線性的然后再去找到真的位置，如果不理解的話可以再看看這個圖：

這種情況的話大部分的OJ是可以勉強過關的，面試官的層面也大概率差不多的，具體代碼為：

class Solution { 
    public int lastRemaining(int n, int m) { 
        if(m==1) 
            return n-1; 
        List<Integer>list=new ArrayList<>(); 
        for(int i=0;i<n;i++) 
        { 
            list.add(i); 
        } 
        int index=0; 
        while (list.size()>1) 
        { 
            index=(index+m-1)%(list.size()); 
            list.remove(index); 
        } 
        return list.get(0); 
    } 
} 

遞歸公式解決

我們回顧上面的優化過程，上面用求余可以解決m比n大很多很多的情況(即理論上需要轉很多很多圈的情況)。但是還可能存在n本身就很大的情況，無論是順序表ArrayList還是鏈表LinkedList去頻繁查詢、刪除都是很低效的。

所以聰明的人就開始從數據找一些規律或者關系。

先拋出公式：

f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n 
f(n,m)指n個人，報第m個編號出列最終編號 

下面要認真看一下我的分析過程：

我們舉個例子，有0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十個數字，假設m為3,最后結果可以先記成f(10,3)，即使我們不知道它是多少。

當進行第一次時候，找到元素2 刪除，此時還剩9個元素，但起始位置已經變成元素3。等價成3 4 5 6 7 8 9 0 1這9個數字重寫開始找。

f(10,3)刪除第一個數

此時這個序列最終剩下的一個值即為f(10,3)，這個序列的值和f(9,3)不同，但是都是9個數且m等于3，所以其刪除位置是相同的，即算法大體流程是一致的，只是各位置上的數字不一樣。所以我們需要做的事情是找找這個序列上和f(9,3)值上有沒有什么聯系。

尋找過程中別忘記兩點，首先可通過%符號對數字有效擴充，即我們可以將3 4 5 6 7 8 9 0 1這個序列看成(3,4,5,6,7,8,9,10,11)%10.這里的10即為此時的n數值。

另外數值如果是連續的，那么最終一個結果的話是可以找到聯系的(差值為一個定制)。所以我們可以就找到f(10,3)和f(9,3)值之間結果的關系，可以看下圖：

f(10,3)刪除一次和f(9,3)

所以f(10,3)的結果就可以轉化為f(9,3)的表達,后面也是同理：

f(10,3)=(f(9,3)+3)%10 
f(9,3)=(f(8,3)+3)%9 
…… 
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2 
f(1,3)=0 

這樣，我們就不用模擬操作，可以直接從數值的關系找到遞推的關系，可以輕輕松松的寫下代碼：

class Solution { 
    int index=0; 
    public int lastRemaining(int n, int m) { 
         if(n==1) 
            return 0;       
        return (lastRemaining(n-1,m)+m)%n; 
    } 
} 

但是遞歸效率因為有個來回的規程，效率相比直接迭代差一些，也可從前往后迭代：

class Solution { 
    public int lastRemaining(int n, int m) { 
        int value=0; 
            for(int i=1;i<=n;i++) 
            { 
                value=(value+m)%i; 
            } 
            return  value; 
    } 
} 

結語

我想，通過本篇文章你應該掌握和理解了約瑟夫環問題，這種裸的約瑟夫環問題出現的概率很大，考察很頻繁，鏈表模擬是根本思想，有序集合模擬鏈表是提升，而公式遞推才是最有學習價值的地方，如果你剛開始接觸不理解可以多看幾遍。如果能用公式遞推給面試官說兩句，講講原理，那一定會讓面試官眼前一亮的!