北大數院校友成果登數學四大頂刊，偏微分方程突破，可用于W-GAN
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數學界神秘的偏微分方程領域，再次被突破了！
來自中科大的陳世炳教授等人，開發了一套全新的數學方法，直接打破了領域內專家20多年來的既有認知。
相關論文已被數學四大頂刊之一《數學年刊》接受，將在接下來的某一期正式發表。
這篇論文突破了一個關鍵的非線性偏微分方程，它與我們機器學習中熟悉的最優傳輸理論息息相關。
最優傳輸理論，類似“找出把物品從A運到B的最佳方法”，用幾何方法來衡量概率分布的距離、給概率分布建模。像機器學習中的W-GAN，就屬于最優傳輸問題。
讓丘成桐院士1982年獲菲爾茨獎的卡拉比猜想證明，就與這個方程相關。
2018年的菲爾茨獎，再次頒給了在這個方程、以及最優傳輸問題上做出貢獻的Alessio Figalli。
究竟是什么方程如此關鍵，這次數學家們又做出了什么重要突破？
一起來看看。
最優傳輸“逃不開”的方程
這個關鍵的非線性偏微分方程，名叫蒙日-安培方程。
它的提出，要從18世紀法國數學家加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge）對最優傳輸問題的研究說起。
最初，這個理論主要用來解決不連續分布的物體運輸問題，類似于搬箱子：
將ABC初始地的箱子運到CDE目的地，確保每個目的地有1個箱子，求最佳的運輸方法。
后來，蒙日開始思考一類問題：對于連續分布的物體，例如一團沙子，用什么方法將它運輸到等體積的洞中，才是最省力的？
他發現，有不少這類連續情形下的最優傳輸問題，都能轉化為一類方程的邊值問題。
蒙日之后，安培進一步對它做了深入研究，方程也被命名為蒙日-安培方程：
△蒙日-安培方程一般形式
這個方程要怎么理解呢？
舉個例子，我們常見的“以圖搜圖”功能，其實就與蒙日-安培方程相關。
在通過圖像匹配進行搜索時，“搜圖”功能會將輸入圖像與網上的圖像進行一個對比。以黑白照片為例，可以將顏色深度看成是一個概率分布（白色為0，黑色為1）。
因此，兩張照片匹配的問題，可以看成是兩個概率分布的匹配問題。
1991年，Yann Brenier在研究中發現，這類連續概率分布的匹配問題，對應地可以寫成一個梯度映射y=Du(x), 其中u是一個凸函數, 且滿足
根據黑塞矩陣（Hessian Matrix），有：
其中λ是u的黑塞矩陣的特征根，是λ的k次初等多項式：
當k=1時，它就是我們熟悉的Laplace方程；當k=n時，它就是蒙日-安培方程。
近幾年，深度學習飛速發展，最優傳輸問題隨之成為研究熱點，對蒙日-安培方程的研究也進一步興起。
名噪一時的Wasserstein GAN，用求Wasserstein距離的方法改善了GAN的穩定性。
求解Wasserstein距離正是一個最優傳輸問題，需要用到蒙日-安培方程。
紐約州立大學石溪分校的顧險峰教授認為，深度學習用到的數據可以看成是高維數據空間中一個低維流形上的概率分布。
GAN所學習的正是這個流形的結構，用編碼、解碼映射來表示，就將GAN隱空間中的數據分布轉換成了幾何上的最優傳輸問題。
據顧險峰教授介紹，這幾年隨著醫學圖像技術、無線通訊技術、3D 打印技術、VR/AR技術的發展，以蒙日-安培方程為代表的非線性偏微分方程理論，開始廣泛用于CS和其他工程領域。
那么，這次陳世炳教授等人發表在《數學年刊》上的研究，究竟做出了什么突破？
打破二十多年的“定論”
研究一個方程的重要思路，就是研究解的性質。
蒙日-安培方程理論也不例外，它主要研究解的存在性、唯一性和光滑性（正則性）。
光滑性（正則性）通常用來描述函數的光滑程度。如果一個函數是光滑的，這個函數在數學定義上無窮可導。
其中，存在性證明已經由Alexandrov給出，而弱解（某種精確定義的意義下滿足該方程的解）的唯一性也已經得到證明。
對光滑性的研究，自1996年來卻一直局限在某些條件下。
1996年，Caffarelli在他里程碑式的工作中，證明了當兩個區域是一致凸、密度函數光滑的時候，最優傳輸解光滑。
然而這里有一些限制條件：兩個區域一致凸、密度函數光滑。
二十多年來，領域里的專家幾乎都認為這些條件（尤其是區域一致凸）必不可少。
但陳世炳等人在這次的研究中，去掉了兩區域一致凸條件，甚至降低了對邊界的光滑性要求，證明了自然邊界條件下蒙日-安培方程的整體光滑性。
這對于蒙日-安培方程的研究來說，是一大進步，相當于把一個定理的范圍擴大到了更廣泛的領域。
作者介紹
作者陳世炳，現在任中國科學技術大學數學系特任教授，博士生導師。
據鎮海中學梓蔭山下微博賬號消息，陳世炳是寧波鎮海中學2001屆校友。
鎮海中學是浙江省強校，除了陳世炳，還有包括IOI金牌得主羅煜翔等人也出自這里。
陳世炳本碩畢業于北京大學數學系，博士畢業于加拿大多倫多大學。
曾先后在美國國家數學科學研究所和澳洲國立大學任博士后，與菲爾茨獎得主Alessio Figalli以及澳大利亞科學院院士汪徐家教授有長期合作。
他的主要研究領域為非線性偏微分方程，除了蒙日-安培方程之外也在曲率流、不等式以及 Lp Minkowski問題方面取得了若干成果，目前已發表SCI論文十余篇。
作者劉佳堃，澳大利亞伍倫貢大學數學與應用統計學院教授，本科畢業于浙江大學，曾獲陳省身數學獎學金。
作者汪徐家，澳大利亞科學院院士，曾獲華人數學最高獎“晨興數學獎”金獎，同樣在蒙日-安培方程上有深入研究，尤其是其中的正則性理論。
據顧險峰教授介紹，他與合作者給出了Ma-Trudinger-Wang條件，來限定密度函數，傳輸代價和概率測度支集的幾何性質，從而保證最優傳輸映射的光滑性。
同時，他還厘清了反射曲面設計、自由曲面透鏡設計等價于球面上的最優傳輸問題，也等價于球面上的蒙日-安培方程。
國內學者在這一方程上的突破歷程，可以說是非常精彩了。
論文地址：
https://arxiv.org/pdf/1802.07518.pdf
顧險峰教授談蒙日-安培方程（授權引用）：
https://mp.weixin.qq.com/s/qf_lL4Wl5P9nAKv2fGklRQ
