在.Net開發中使用Math.NET Filtering開源庫實現巴特沃斯濾波器
巴特沃斯濾波器是一種常用的數字濾波器，它屬于無限脈沖響應（IIR）濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是在通帶和阻帶的幅頻響應上都能達到最優衰減，即具有最小的群延遲和最平坦的幅度響應。
巴特沃斯濾波器的設計基于對模擬濾波器的變換，將其轉換為數字濾波器。其設計過程需要指定通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減和阻帶衰減等參數。通過對這些參數進行計算，可以得到一組濾波器系數，用于實現數字濾波器。
巴特沃斯濾波器的優點是具有最優的幅頻響應特性，能夠提供高質量的信號濾波效果。但是，由于其是IIR濾波器，可能會引入穩定性問題和相位失真等問題。此外，巴特沃斯濾波器的設計比較復雜，需要進行多次迭代計算，因此對計算資源的需求較高。
巴特沃斯濾波器選擇性處理類型
巴特沃斯濾波器是一種常見的濾波器類型，用于信號處理和數據分析中。它具有平坦的通帶響應和陡峭的阻帶衰減特性，被廣泛應用于濾波和頻率選擇性處理。通過引入MathNet.Filtering庫，可以查看實現基本內容。
mathnet-filtering/src/Filtering/Butterworth/IirCoefficients.cs at master · mathnet/mathnet-filtering · GitHub。
1. 低通濾波器（LowPass Filter）：
低通濾波器允許低于截止頻率的信號通過，并抑制高于截止頻率的信號。它可以用于去除高頻噪聲或限制信號頻率范圍。基本原理是通過調整濾波器的傳遞函數，使得在截止頻率以下的頻率成分通過濾波器，而高于截止頻率的頻率成分被衰減。這樣，輸出的信號將只包含低頻成分。
/// <summary>
/// Computes the IIR coefficients for a low-pass Butterworth filter.
/// </summary>
/// <param name="passbandFreq">Passband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="stopbandFreq">Stopband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="passbandRipple">Maximum allowed passband ripple.</param>
/// <param name="stopbandAttenuation">Minimum required stopband attenuation.</param>
/// <returns>IIR coefficients.</returns>
/// <seealso cref="Designer.LowPass(double, double, double, double)"/>
public static (double[] numerator, double[] denominator) LowPass(double passbandFreq, double stopbandFreq, double passbandRipple, double stopbandAttenuation)
{
var (n, wc) = Designer.LowPass(passbandFreq, stopbandFreq, passbandRipple, stopbandAttenuation);
const double T = 2;
var (gain, zeros, poles) = TransferFunction(n);
wc = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc, T);
(gain, zeros, poles) = TransferFunctionTransformer.LowPass(gain, zeros, poles, wc);
return Coefficients(gain, zeros, poles, T);
}2. 高通濾波器（HighPass Filter）：
高通濾波器允許高于截止頻率的信號通過，并抑制低于截止頻率的信號。它可以用于去除低頻噪聲或突出高頻信號的部分。工作原理與低通濾波器相反，通過調整濾波器的傳遞函數，使高于截止頻率的頻率成分通過濾波器，而低于截止頻率的頻率成分被衰減。這樣，輸出的信號將只包含高頻成分。
/// <summary>
/// Computes the IIR coefficients for a high-pass Butterworth filter.
/// </summary>
/// <param name="stopbandFreq">Stopband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="passbandFreq">Passband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="passbandRipple">Maximum allowed passband ripple.</param>
/// <param name="stopbandAttenuation">Minimum required stopband attenuation.</param>
/// <returns>IIR coefficients.</returns>
/// <seealso cref="Designer.HighPass(double, double, double, double)"/>
public static (double[] numerator, double[] denominator) HighPass(double stopbandFreq, double passbandFreq, double passbandRipple, double stopbandAttenuation)
{
var (n, wc) = Designer.HighPass(stopbandFreq, passbandFreq, passbandRipple, stopbandAttenuation);
const double T = 2;
var (gain, zeros, poles) = TransferFunction(n);
wc = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc, T);
(gain, zeros, poles) = TransferFunctionTransformer.HighPass(gain, zeros, poles, wc);
return Coefficients(gain, zeros, poles, T);
}3. 帶通濾波器（BandPass Filter）：
帶通濾波器允許位于一定頻率范圍內的信號通過，并抑制位于該范圍之外的信號。它可以用于選擇特定頻段的信號，例如選擇音頻中的特定頻率分量或去除特定頻率范圍的噪聲。實現方法是將低通濾波器和高通濾波器結合起來工作。通過調整濾波器的傳遞函數，使得在下截止頻率至上截止頻率之間的頻率成分通過濾波器，而低于下截止頻率和高于上截止頻率的頻率成分被衰減。
/// <summary>
/// Computes the IIR coefficients for a band-pass Butterworth filter.
/// </summary>
/// <param name="lowStopbandFreq">Lower stopband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="lowPassbandFreq">Lower passband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="highPassbandFreq">Higher passband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="highStopbandFreq">Higher stopband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="passbandRipple">Maximum allowed passband ripple.</param>
/// <param name="stopbandAttenuation">Minimum required stopband attenuation.</param>
/// <returns>IIR coefficients.</returns>
/// <seealso cref="Designer.BandPass(double, double, double, double, double, double)"/>
public static (double[] numerator, double[] denominator) BandPass(double lowStopbandFreq, double lowPassbandFreq, double highPassbandFreq, double highStopbandFreq, double passbandRipple, double stopbandAttenuation)
{
var (n, wc1, wc2) = Designer.BandPass(lowStopbandFreq, lowPassbandFreq, highPassbandFreq, highStopbandFreq, passbandRipple, stopbandAttenuation);
const double T = 2;
var (gain, zeros, poles) = TransferFunction(n);
wc1 = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc1, T);
wc2 = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc2, T);
(gain, zeros, poles) = TransferFunctionTransformer.BandPass(gain, zeros, poles, wc1, wc2);
return Coefficients(gain, zeros, poles, T);
}4.帶阻濾波器（Band-Stop Filter）：
帶阻濾波器，也稱為帶阻通帶濾波器或帶阻巴特沃斯濾波器，只允許低于下截止頻率和高于上截止頻率之間的頻率成分通過濾波器。在這個范圍內的頻率成分被抑制。工作原理是通過調整濾波器的傳遞函數，在特定頻率范圍內形成一個深的谷，從而抑制該范圍內的信號。
/// <summary>
/// Computes the IIR coefficients for a band-stop Butterworth filter.
/// </summary>
/// <param name="lowPassbandFreq">Lower passband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="lowStopbandFreq">Lower stopband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="highStopbandFreq">Higher stopband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="highPassbandFreq">Higher passband corner frequency (in Hz).</param>
/// <param name="passbandRipple">Maximum allowed passband ripple.</param>
/// <param name="stopbandAttenuation">Minimum required stopband attenuation.</param>
/// <returns>IIR coefficients.</returns>
/// <seealso cref="Designer.BandStop(double, double, double, double, double, double)"/>
public static (double[] numerator, double[] denominator) BandStop(double lowPassbandFreq, double lowStopbandFreq, double highStopbandFreq, double highPassbandFreq, double passbandRipple, double stopbandAttenuation)
{
var (n, wc1, wc2) = Designer.BandStop(lowPassbandFreq, lowStopbandFreq, highStopbandFreq, highPassbandFreq, passbandRipple, stopbandAttenuation);
const double T = 2;
var (gain, zeros, poles) = TransferFunction(n);
wc1 = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc1, T);
wc2 = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc2, T);
(gain, zeros, poles) = TransferFunctionTransformer.BandStop(gain, zeros, poles, wc1, wc2);
return Coefficients(gain, zeros, poles, T);
}5. 陷波濾波器（Notch Filter）：
陷波濾波器也稱為帶阻濾波器，用于抑制特定頻率的信號。它可以用于消除特定頻率的干擾或不需要的頻率成分。工作原理是通過調整濾波器的傳遞函數，在特定頻率附近形成一個深的谷，從而抑制該頻率的信號。
/// <summary>
/// Computes the IIR coefficients for a notch Butterworth filter.
/// </summary>
/// <param name="centralFreq">Filter central frequency.</param>
/// <param name="Q">Quality factor.</param>
/// <param name="passbandRipple">Maximum allowed passband ripple.</param>
/// <param name="stopbandAttenuation">Minimum required stopband attenuation.</param>
/// <returns>IIR coefficients.</returns>
/// <seealso cref="Designer.Notch(double, double, double, double)"/>
public static (double[] numerator, double[] denominator) Notch(double centralFreq, double Q, double passbandRipple, double stopbandAttenuation)
{
var (n, wc1, wc2) = Designer.Notch(centralFreq, Q, passbandRipple, stopbandAttenuation);
const double T = 2;
var (gain, zeros, poles) = TransferFunction(n);
wc1 = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc1, T);
wc1 = Helpers.MathFunctions.WarpFrequency(wc2, T);
(gain, zeros, poles) = TransferFunctionTransformer.BandStop(gain, zeros, poles, wc1, wc2);
return Coefficients(gain, zeros, poles, T);
}.Net實現巴特沃斯濾波器基本原理
Butterworth濾波器的基本原理是通過調整濾波器的傳遞函數，使得在截止頻率以下的頻率成分通過濾波器，而高于截止頻率的頻率成分被衰減。這樣，輸出的信號將只包含低頻成分。其傳遞函數為：
其中，B為截止頻率，s為拉普拉斯變換變量，N為濾波器階數。
在計算Butterworth濾波器的參數時，需要先確定濾波器的類型、截止頻率和階數。一般來說，可以通過以下步驟計算Butterworth濾波器的參數：
- 確定濾波器類型：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器或帶阻濾波器。
- 確定截止頻率：根據應用需求確定濾波器的截止頻率，即信號中允許通過的最高頻率或最低頻率。
- 確定階數：階數越高，濾波器的陡峭度越高，但相應的計算復雜度也越高。
- 計算傳遞函數：根據濾波器類型、截止頻率和階數計算傳遞函數。
- 將傳遞函數轉換為離散濾波器系數：使用雙線性變換或者離散化方法將傳遞函數轉換為離散濾波器系數。
在實際應用中，可以使用MathNet.Filtering庫來進行Butterworth濾波器的設計和計算。其中，使用Butterworth.LowPass方法可以計算低通Butterworth濾波器的系數，使用Butterworth.HighPass方法可以計算高通Butterworth濾波器的系數，而使用Butterworth.BandPass和Butterworth.BandStop方法可以分別計算帶通和帶阻Butterworth濾波器的系數。
例如，對于一個采樣頻率為Fs=1000Hz的信號，需要設計一個10階帶通Butterworth濾波器，截止頻率為[50Hz, 150Hz]。則可以使用以下代碼計算濾波器系數：
using MathNet.Filtering;
double[] bandPassFrequencies = new double[] { 50, 150 };
var iirCoefficients = Butterworth
.BandPass(10, Fs, bandPassFrequencies[0], bandPassFrequencies[1])
.IirCoefficients;`其中，Fs為采樣頻率。計算得到的iirCoefficients數組即為帶通Butterworth濾波器的系數。
需要注意的是，Butterworth濾波器具有相位延遲和較大的過渡帶寬度，因此在實際應用中需要根據具體需求進行調整和優化。
.Net實現巴特沃斯濾波器示例
在.NET中實現巴特沃斯濾波器通常需要使用數字信號處理庫或者數學庫來進行濾波器設計和應用。以下是一種可能的實現方式，使用MathNet.Numerics庫來實現一個簡單的巴特沃斯低通濾波器：
首先，你需要安裝 MathNet.Numerics 庫。可以在 NuGet 包管理器中搜索并安裝 MathNet.Numerics。
接下來，你可以通過以下代碼來實現一個簡單的巴特沃斯低通濾波器：
using MathNet.Filtering;
// 設定濾波器參數
double passbandFrequency = 0.1; // 通帶截止頻率
double stopbandFrequency = 0.2; // 阻帶截止頻率
double passbandRippleDB = 0.1; // 通帶波動
double stopbandAttenuationDB = 60.0; // 阻帶衰減
// 設定采樣頻率
double samplingFrequency = 1.0; // 采樣頻率
// 設定濾波器類型為低通濾波器
Butterworth butterworth = Butterworth.LowPass(samplingFrequency, passbandFrequency, stopbandFrequency, passbandRippleDB, stopbandAttenuationDB);
//設定濾波器類型為高通濾波器
//Butterworth butterworth = Butterworth.HighPass(samplingFrequency, passbandFrequency, stopbandFrequency, passbandRippleDB, stopbandAttenuationDB);
//設定濾波器類型為帶通濾波器
//Butterworth butterworth = Butterworth.BandPass(samplingFrequency, passbandFrequency, stopbandFrequency, passbandRippleDB, stopbandAttenuationDB);
//設定濾波器類型為帶阻濾波器
//Butterworth butterworth = Butterworth.BandStop(samplingFrequency, passbandFrequency, stopbandFrequency, passbandRippleDB, stopbandAttenuationDB);
//設定濾波器類型為陷波濾波器
//Butterworth butterworth = Butterworth.Notch(samplingFrequency, passbandFrequency, stopbandFrequency, passbandRippleDB, stopbandAttenuationDB);
// 應用濾波器
OnlineFilter onlineFilter = OnlineFilter.Create(butterworth);
// 輸入信號
double[] inputSignal = new double[] { /* 輸入信號數據 */ };
// 輸出濾波后的信號
double[] outputSignal = onlineFilter.ProcessSamples(inputSignal);`在這個例子中，我們使用 MathNet.Numerics 庫中的 Butterworth 類來創建一個巴特沃斯低通濾波器，并通過 OnlineFilter 類來應用該濾波器到輸入信號上。當然，具體的參數設定和使用方式還取決于你的實際需求和信號特性。
