牛頓想出的“球體親吻數”（kissing number）難題，華人學者取得新進展。

n維空間中，給定一個n維球體，最多有幾個相同的球體可以與它接觸而不重疊？

斯坦福博士生Anqi Li在微軟實習期間完成這項研究，導師Henry Cohn本意是讓她用計算機輔助，她卻創造性地找到了數學上的新解法。

這個問題在低維很直觀，比如二維空間的“親吻數”是6，如果在桌面上擺一枚硬幣，很快就能試出來周圍最多還能擺6枚硬幣。

在三維空間，“親吻數”是12。

到了更高維空間就無法直觀的可視化，解決起來也更困難，但幾個世紀以來科學家一直在努力研究。

另外，這個問題還與通信領域的編碼糾錯問題密切相關，曾被NASA用來設計旅行者號探測器的通信編碼：

使用24位二進制編碼，僅需一個燈泡的功率（約20瓦），就將彩色照片從太空傳回地球。

那么，二進制編碼與高維球體是怎么聯系起來的？

如果將每個通信編碼看做高維空間中的一個點，這個點也可以被視為一個球體的球心。

此時球的半徑就代表了容錯的范圍，當傳輸過程中出現噪聲導致信息失真時，接收到的信息會偏離原始編碼。

但如果失真后的信息仍落在某個編碼詞對應球體的范圍內，就可以識別出原本要傳輸的編碼，這就實現了通信中的錯誤糾正。

至此，通信編碼設計問題就轉換成了求解高維空間中球體堆砌問題，而親吻數問題正是研究局部最優堆砌的重要工具。

反過來也成立，編碼設計的進步也能幫助數學家改進高維親吻數問題的結果。

球體親吻問題

時間倒回到1694年5月，當時在劍橋大學校園內，兩位頂尖科學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和大衛·格雷戈里（David Gregory）進行了一次關于恒星本質的著名討論。

這場討論最終誕生了經典的球體親吻數問題：

給定一個中心球體，可以排列多少個相同的球體，使得它們互相接觸但不重疊？

對于三維空間，牛頓認為這個數是12，格雷戈里認為是13。

直到1952年，數學家才證明牛頓是對的。不過觀察三維空間的最優解，就很容易理解格雷戈里為什么猜測還能多容納下一個球。

總的來說一個規律是，隨著維度增大，球與球之間的空隙也在增加，問題也就越困難。

但這個規律卻在24維的時候出現了例外。

1967年，數學家約翰·利奇 (John Leech) 構建了以他的名字命名的利奇格（Leech lattice）。

使用這種晶格可以“完美”地將球體密集地填充到24維空間中，且該空間中的最佳的親吻排列是每個球體接觸196560個相鄰球體。

但對于其他維度，尤其是幾何上不那么對稱的維度，親吻數問題仍然難以解決。

長久以來，只能通過計算來估計高維空間親吻數的上界和下界。

Anqi Li在剛開始接觸這項工作時，導師Cohn對她的建議也是如此，像其他學生一樣，用計算機輔助手段取得一些進展就好了。

Anqi Li本科畢業于MIT，碩士畢業于劍橋大學，目前斯坦福博士在讀，除了Cohn外還接受過華人數學家趙宇飛等眾多名師指導。

當她開始嘗試“手動”方案的時候，Cohn還承諾她“即使沒有任何結果仍然可以得到A的成績。”

但不久以后，Cohn就發現她的進展“非常令人興奮”。

時隔58年的新突破

Anqi Li首先研究了16維空間，已知最好的排列方式來自另一種“Barnes-Wall格”，可以被視為利奇格的一個切片。

Barnes-Wall格有一個特點，其中最常見的點，坐標中負號的個數總是偶數。

這有助于確保點與點之間的距離足夠遠，形成一個高度對稱的結構。

Anqi Li的突破點在于“如果使用奇數個負號會如何？”，這需要額外的小心不要導致球體重疊，而且據她所知，以前還沒人如此嘗試過。

Cohn起初對這個方法抱有懷疑態度，但在使用計算機驗證之后，發現球體的排列沒有問題。

那年夏天，Anqi Li跟隨Cohn去微軟研究院實習，兩人仔細改進了他們使用的編碼方案，終于讓17維空間的親吻數下界從5346提高到了5730，相當于在空隙中多塞了384個球。

接下來，他們將類似的技巧推廣到18維至21維，刷新了這些維度的親吻數下界。

當然，他們的新紀錄離最終答案可能還有一定距離。以17維為例，目前的上界估計高達10978就被認為是嚴重高估，表明還有不小的優化空間。

不過這種獨辟蹊徑的思路，也為后續研究指明了新的方向。

正如這個領域的另一位專家Oleg Musin（證明了4維空間中的最佳親吻數）所評價的：他們提出了一種完全不同的構造方法。

雖然在24維已經有了利奇格這個“完美”解，但也給數學界帶來一個更深刻的問題：為什么24維會存在如此優雅的解？

相鄰維度的研究進展，也有助于幫助數學家們理解自然界這種優雅背后的深層機制。

論文地址：https://www.arxiv.org/pdf/2411.04916