耗時30年，近1000頁論文，終于攻克了「幾何朗蘭茲猜想」！

朗蘭茲綱領，又被稱為「大一統理論」，困擾了數學家多半個世紀，至今仍是一個未解之謎。

如今，來自普朗克數學研究所Dennis Gaitsgory和耶魯大學Sam Raskin領銜九人團隊，在五篇論文中，完成了證明其中一個分支的壯舉。

他們的成果不僅解決了這一難題，還為數學界開辟了全新的探索領域。

Dennis Gaitsgory和Sam Raskin

值得一提的是，九位天才數學家中，其中一位還是來自清華丘成桐數學科學中心的助理教授陳麟。

半世紀難題，數學「圣杯」或被摘下

1967年，「朗蘭茲綱領」（Langlands Program）正式被提出。

當時，30歲的普林斯頓大學教授Robert Langlands在給André Weil一封長達17頁的親筆信中，首次闡述了自己的設想。

信中，Langlands表示，在「羅塞塔石碑」所對應的數論和函數域中，或許可能創建出一個傅里葉分析的推廣理論。

「朗蘭茲綱領」也被譽為數學界的「羅塞塔石碑」，試圖統一數論、函數域、幾何三大領域

Langlands的目標是，將數學中兩個截然不同的分支：數論（研究整數）和調和分析（研究復雜信號如何分解成簡單波）連接起來。

通過「朗蘭茲綱領」，許多傳統數論中的難題，可以轉化為表示論等其他領域的問題，借助新視角和工具得以解決。

值得一提的是，1995年Andrew Wiles證明的「費馬大定理」，便借鑒了「朗蘭茲綱領」的核心思想。

當n大于2時，不存在正整數a、b、c滿足an+bn=cn

除了在數學上的應用，這一綱領還被廣泛應用在物理學等學科上，比如量子場論。

可以看出，Langlands當時僅提出了兩大領域，直到1980年代，Vladimir Drinfeld首次提出了「幾何朗蘭茲猜想」。

與數論形式一樣，幾何也建立在某種聯系上：暗示兩類不同的數學對象之間存在對應關系。

它們三者都與「黎曼曲面」相關。

這是一維復流形，其坐標為復數，即實部和虛部的組合，這些流形可以是球體、甜甜圈，或帶多個「洞」的椒鹽卷形狀。

數論猜想，是完全分離的「數學世界」，幾何猜想所關聯的兩者差異較小。

那時，許多數學家猜測，幾何朗蘭茲猜想的證明，可能推動更難的數論的發展。

幾何朗蘭茲，連接「兩個世界」

在幾何中，「基本群」是其中的一方。一個黎曼曲面的基本群，描述了圍繞該曲面可以打結的所有不同方式。

以甜甜圈為例，可以繞其外緣水平地打圈，也可以穿過洞口豎直地繞圈。

幾何朗蘭茲猜想研究的是，這種基本群的「表示」，即用矩陣（數字的網格）來表達其性質。

猜想的另一方，則涉及了特殊類型的「層」（sheaves）。

這是代數幾何中的工具，用于為流形上的每個點分配一個「向量空間」，就像描述重力場的函數可以為3D空間中的每一點分配一個表示重力強度的數值一樣。

「幾何朗蘭茲猜想」被提出之后，許多數學家早在在1990年代不斷嘗試，試圖破解這一證明。

關于這一猜想的精確表述，更是到了本世紀才現身。

2012年，Dennis Gaitsgory聯手Dima Arinkin，在150多頁論文中進一步給出了準確表述。隨后，Dennis又獨立撰寫了一份「幾何朗蘭茲猜想」證明的逐步提綱。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/1201.6343

直到最新一系列證明的出現，直接推動了「朗蘭茲綱領」局部的研究。局部是指圍繞「繞黎曼曲面」上某一點的環面區域內的對象性質。

五篇近千頁論文，狂肝30年

從2023年起，Dennis Gaitsgory和Sam Raskin帶隊，聯手其他7位合著者一個攻關。

最終，他們于2024年一共發表了五篇arXiv論文，長達千頁。

地址：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

這第一篇，主要聚焦于functor（函子）的構造，需要實現從自守形式到譜方向的轉化。

通過構造幾何朗蘭茲函子LG并驗證其范疇等價性，即在相關范疇間建立完全對應的映射關系。

這一關系的證實，將直接推導出「幾何朗蘭茲猜想」的正確性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.03599

第二篇，深入研究了Kac-Moody局部與全局結構之間的相互作用，并在特定條件下，證明了所構造的函子是一個等價性函子，推動了猜想的證明。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.03648

第三篇不僅將已知的等價性結果，推廣至更一般的情形，還借助Kac-Moody局部化技術，進一步揭示了幾何朗蘭茲函子和常數項函子之間的深刻聯系。

同時，它在可約譜參數下，驗證了猜想的兼容性，為最終攻克不可約譜參數鋪路。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.07051

接下來這篇中，研究人員證明了Ambidexterity定理——揭示了左伴隨和右伴隨函子的同構性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.08670

最后一篇論文，證明了唯一性定理，并將「幾何朗蘭茲猜想」推廣至一般情況。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.09856

這一系列研究的完成，徹底為「幾何朗蘭茲猜想」畫上了句號。

斬獲數學大獎

這一成就的分量迅速得到數學界的認可。

今年4月，Gaitsgory獲得300萬美元的數學突破獎（Breakthrough Prize in Mathematics）。

Gaitsgory在接受《科學美國人》的德語姊妹刊物《科學光譜》的采訪時透露。

1000頁的證明，95%是我寫的，當時我滑雪受傷了，只能躺在床上。

閑著也是閑著，我就一邊和兒子看《星球大戰》，一邊寫證明。

不愧是大佬，這樣也行。

Raskin則獲得了「新視野獎」（New Horizons Prize），該獎項專為有前途的早期職業數學家設立。

和許多數學重大成果一樣，這項證明有望在不同領域之間架起橋梁，使一個領域的工具能用來攻克另一個領域的難題。

九人天團，清華陳麟在列

九人團隊中，其中一位中國學者是陳麟。

他是清華大學丘成桐數學科學中心助理教授。

陳麟是真正的少年天才，12歲沖進CMO競賽拿下滿分，又在15歲進入國家隊一舉奪下了IMO金牌。

2016在北京大學取得學士學位，2021年博士畢業于哈佛大學，曾榮獲哈佛2020-2021優秀獎學金。

陳麟有多傳奇，可以從別人的「口中」感受一二。

在知乎有個問題，「中國真正一流的學生是什么樣子」？一位名為楊世奇的答主是這么說的。

陳麟水平大概是北大老師會直接把他的卷子當做100來判，然后看其他學生得了他多少百分比分數來打分的存在（北大李教授親述）。

他在幾何朗蘭茲綱領及幾何表示論領域做出創新性的重要貢獻，甚至有人2022年預測他能在2030年獲得菲爾茲獎。

那會還沒有消息說陳麟會參加幾何朗蘭茲的證明。

在陳麟的個人介紹主頁中，可以看到對于幾何朗蘭茲的證明放在了最顯眼的位置。

如果你對幾何朗蘭茲感興趣，陳麟在2023年秋季還開設了這門課程。

感興趣的小伙伴可以去學習一下。

讓我們簡單看下第一節介紹，感受一下數學的「魅力」。