斐波納契數列（Fibonacci Sequence），又稱黃金分割數列。

指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。

在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。

斐波那契數列的***，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）。

與黃金分割的關系

有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，后一項與前一項的比值的小數部分越來越逼近黃金分割0.618.　　 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 　　

越到后面，這些比值越接近黃金比。

證明：

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

兩邊同時除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的極限存在，設其極限為x，

則lim[n->；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以極限是黃金分割比..

如果你看到有這樣一個題目：

某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64=65？

其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。

在楊輝三角中隱藏著斐波那契數列

斐波那契數列的整除性與素數生成性

每3個數有且只有一個被2整除，

每4個數有且只有一個被3整除，

每5個數有且只有一個被5整除，　　

每6個數有且只有一個被8整除，　　

每7個數有且只有一個被13整除，　　

每8個數有且只有一個被21整除，　　

每9個數有且只有一個被34整除，　

.......　　

我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）　　

斐波那契數列的素數無限多嗎？

斐波那契數列的個位數：一個60步的循環

11235,83145,94370,77415,61785.38190,　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…

斐波那契數列中是否存在無窮多個素數？[維基百科]

在斐波那契數列中，有素數：

2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229,433494437,2971215073,99194853094755497,1066340417491710595814572169,19134702400093278081449423917……

目前已知***素數是第81839個斐波那契數，一共有17103位數。

相關的數學問題

1.排列組合

有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法? 　　

這就是一個斐波那契數列：

登上***級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……　　

1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法?！　?/p>

類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？　　

答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^（10+2） - [(1-√5)/2]^（10+2）}=144種。

2.數列中相鄰兩項的前項比后項的極限

當n趨于無窮大時，F(n)/F(n+1）的極限是多少？　　

這個可由它的通項公式直接得到，極限是（-1+√5)/2，這個就是黃金分割的數值，也是代表大自然的和諧的一個數字。　　

3.求遞推數列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式

由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。

4.兔子繁殖問題（關于斐波那契數列的別名）

斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”?！　?/p>

一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？ 　　

我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：　　

***個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對　　

兩個月后，生下一對小兔民數共有兩對　　

三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對

　?。?　　依次類推可以列出下表：

幼仔對數=前月成兔對數　　

成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數　　

總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數　　

可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了后一項。　　

這個數列是意大利中世紀數學家斐波那契在<；算盤全書>；中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性質外，還可以證明通項公式為：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）　　`````

可惜本人是文科生，看不懂也不記得那些所謂的數學公式了，以前素材只摘選感興趣的部分。

來源于百度：http://baike.baidu.com/view/816.htm

我只感興趣的是后面這幾段代碼的實現：

package com.tudou.t1;  
 
import java.math.BigInteger;  
import java.util.Scanner;  
 
/**  
 * 斐波那契數列 1,2,3,5,8,13,21....[]  
 *   
 * @author lz  
 *   
 */ 
public class Fibonacci {  
    public static void main(String[] args) {  
        fib();//常規算法  
        System.out.println(compute2(5));//計算第n個斐波那契數列的數  
        fibHign();// Java語言程序（高精度，約一秒鐘計算第20000個數值）  
    }  
 
    private static void fib() {  
        int x = 1, y = 1;  
        System.out.println(x);  
        for (int i = 1; i <= 5; i++) {  
            System.out.println(y);  
            y = x + y;  
            x = y - x;  
        }  
    }  
 
    // n為第n個斐波那契數列的數  
    public static BigInteger compute2(int n) {  
        if (n == 1 || n == 2) {  
            return BigInteger.ONE;  
        }  
        BigInteger num1 = BigInteger.ONE;  
        BigInteger num2 = BigInteger.ONE;  
        BigInteger result = BigInteger.ZERO;  
        for (int i = 2; i < n; i++) {  
            result = num1.add(num2);  
            num2 = num1;  
            num1 = result;  
        }  
        return result;  
    }  
 
    // Java語言程序（高精度，約一秒鐘計算第20000個數值）  
    private static void fibHign() {  
        Scanner s = new Scanner(System.in);  
        System.out.print("請輸入一個整數:");  
        int n = s.nextInt();  
        do {  
            cul(n);  
            n = s.nextInt();  
        } while (n > 0);// 當n<=0時終止  
    }  
 
    private static void cul(int n) {  
        BigIntT b = new BigIntT();  
        BigIntT a = new BigIntT();  
        b.formatBigInt("1");  
        a.formatBigInt("2");  
        if (n == 1 || n == 2) {  
            System.out.println(1);  
            return;  
        }  
        int i = 3;  
        for (; i <= n; i++) {  
            if (i % 2 > 0)  
                b.add(a);  
            else 
                a.add(b);  
        }  
        BigIntT t = null;  
        if (i % 2 > 0)  
            t = b;  
        else 
            t = a;  
        for (int j = t.getPos(); j < 100000; j++)  
            System.out.print(t.getBase(j));  
        System.out.println();  
    }  
}  
 
class BigIntT {  
    int max = 100000;  
    private byte[] base = new byte[max];  
    private int pos = max;  
 
    public void formatBigInt(String arr) {  
        int l = arr.length();  
        if (l == 0)  
            return;  
        int tmp = l - 1;  
        for (int i = max - 1; i >= max - l; i--) {  
            base[i] = (byte) (arr.charAt(tmp--) - '0');  
            pos--;  
        }  
    }  
 
    public void add(BigIntT right) {  
        int bigger = this.getPos() > right.getPos() ? right.getPos() : this 
                .getPos();  
        pos = bigger;  
        for (int i = max - 1; i >= pos - 2; i--) {  
            int t = this.base[i] + right.getBase(i);  
            if (t >= 10) {  
                this.base[i] = (byte) (t % 10);  
                this.base[i - 1] += t / 10;  
                if (i - 1 < pos)  
                    pos = i - 1;  
            } else {  
                this.base[i] = (byte) t;  
            }  
        }  
    }  
 
    public int getPos() {  
        return pos;  
    }  
 
    public byte getBase(int index) {  
        return base[index];  
    }  
}  

控制臺輸出結果為：

1 
1 
2 
3 
5 
8 
5

請輸入一個整數:500

139423224561697880139724382870407283950070256587697307264108962948325571622863290

691557658876222521294125

感興趣的朋友，可以玩一下。偶爾玩玩這些也很過癮呢。

原文鏈接：http://blog.csdn.net/yaerfeng/article/details/7279210

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