無需深度學習框架，如何從零開始用Python構建神經網絡

作者：機器之心編譯 2018-05-28 13:12:49

開發開發工具深度學習

作者根據自己從零開始學習用 Python 構建神經網絡的經驗，編寫了一份攻略。內容涵蓋神經網絡定義、損失函數、前向傳播、反向傳播、梯度下降算法，對于想要了解深度學習運作原理的各位來說，內容精彩不可錯過。

動機：為了深入了解深度學習，我決定從零開始構建神經網絡，并且不使用類似 Tensorflow 的深度學習庫。我相信，對于任何有理想的數據科學家而言，理解神經網絡內部的運作方式都非常重要。

本文涵蓋了我學到的所有東西，希望你也能從中獲益!

一、什么是神經網絡?

許多有關神經網絡的介紹資料會將神經網絡與大腦進行類比。但我發現，將神經網絡簡單地描述為一個從輸入映射到輸出的數學函數理解起來更容易。

神經網絡由以下部分組成：

一個輸入層，x
任意數量的隱藏層
一個輸出層，ŷ
每兩層之間都有一組權重和偏置，W 和 b
每個隱藏層都要選擇一個激活函數 σ。在本文中，我們選用 Sigmoid 激活函數。

下圖展示了 2 層神經網絡的結構(請注意，在計算神經網絡層數的時候，通常不計入輸入層)。

二層神經網絡的結構

利用 Python 建立神經網絡非常容易。

class NeuralNetwork: 
    def __init__(self, x, y): 
        self.input      = x 
        self.weights1   = np.random.rand(self.input.shape[1],4)  
        self.weights2   = np.random.rand(4,1)                  
        self.y          = y 
        self.output     = np.zeros(y.shape)

1. 訓練神經網絡

一個簡單 2 層神經網絡的輸出 ŷ 可以表示為：

你可能注意到，在上面的等式當中，權重 W 和偏置 b 是影響輸出 ŷ 的唯一變量。

自然，權重和偏差的正確值決定了預測的強度。根據輸入數據微調權重和偏置的過程稱為神經網絡訓練。

訓練過程的每一次迭代包含以下步驟：

計算預測的輸出 ŷ，稱為前向傳播
更新權重和偏置，稱為反向傳播

以下流程圖說明了這個過程：

2. 前向傳播

正如我們在上圖中所看到的，前向傳播只是一個簡單的計算。對于一個基本的 2 層神經網絡，神經網絡的輸出計算如下：

我們可以在 Python 代碼中添加一個前向傳播函數來做到這一點。簡單起見，我們假設偏置為 0。

class NeuralNetwork: 
    def __init__(self, x, y): 
        self.input      = x 
        self.weights1   = np.random.rand(self.input.shape[1],4)  
        self.weights2   = np.random.rand(4,1)                  
        self.y          = y 
        self.output     = np.zeros(self.y.shape) 
 
    def feedforward(self): 
        self.layer1 = sigmoid(np.dot(self.input, self.weights1)) 
        self.output = sigmoid(np.dot(self.layer1, self.weights2))

然而，我們仍然需要一種方法來評估我們的預測的「優秀程度」(即，我們的預測與真實值相差多少?)這就需要用到損失函數了。

3. 損失函數

損失函數有很多種，而我們問題的性質會決定我們使用哪種損失函數。在本文中，我們將采用簡單的誤差平方和。

誤差平方和，即每個預測值和真實值之間差值的平均值。這個差值是取了平方項的，所以我們測量的是差值的絕對值。

在訓練過程中，我們的目標是找到一組***的權重和偏置，使損失函數最小化。

4. 反向傳播

現在，我們已經找到了預測誤差的方法(損失函數)，那么我們需要一種方法將錯誤「傳播」回去，從而更新權重和偏置。

為了確定權重和偏置調整的適當值，我們需要知道損失函數對權重和偏置的偏導數。

從微積分的角度來看，函數的偏導數也就是函數的斜率。

梯度下降算法

如果我們知道了偏導數，我們可以通過簡單增加或減少偏導數(如上圖所示)的方式來更新權重和偏置。這就是所謂的梯度下降。

然而，由于損失函數的方程不包含權重和偏置，所以我們不能直接計算損失函數對權重和偏置的偏導數。因此，我們需要鏈式法則來幫助計算。

以上是用于計算損失函數對權重偏導數的鏈式法則。簡單起見，我們只展示了一層神經網絡的偏導數。

唷!這看起來不大好看，但這能讓我們獲得所需——損失函數對權重的偏導數(斜率)，以便相應調整權重。

既然我們已經有了鏈式法則公式，接下來我們把反向傳播函數添加到 Python 代碼中。

class NeuralNetwork: 
    def __init__(self, x, y): 
        self.input      = x 
        self.weights1   = np.random.rand(self.input.shape[1],4)  
        self.weights2   = np.random.rand(4,1)                  
        self.y          = y 
        self.output     = np.zeros(self.y.shape) 
 
    def feedforward(self): 
        self.layer1 = sigmoid(np.dot(self.input, self.weights1)) 
        self.output = sigmoid(np.dot(self.layer1, self.weights2)) 
 
    def backprop(self): 
        # application of the chain rule to find derivative of the loss function with respect to weights2 and weights1 
        d_weights2 = np.dot(self.layer1.T, (2*(self.y - self.output) * sigmoid_derivative(self.output))) 
        d_weights1 = np.dot(self.input.T,  (np.dot(2*(self.y - self.output) * sigmoid_derivative(self.output), self.weights2.T) * sigmoid_derivative(self.layer1))) 
 
        # update the weights with the derivative (slope) of the loss function 
        self.weights1 += d_weights1 
        self.weights2 += d_weights2