1.簡(jiǎn)介

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在各種數(shù)據(jù)方面處理上已經(jīng)取得了很大的成功，包括圖像、文本、時(shí)間序列等。然而，學(xué)術(shù)界或工業(yè)界都面臨的一個(gè)問(wèn)題是，不能以任何細(xì)節(jié)來(lái)理解其工作的過(guò)程，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢測(cè)其效果，而無(wú)法做出合理的解釋。相關(guān)問(wèn)題是對(duì)特定數(shù)據(jù)集經(jīng)常存在某種過(guò)擬合現(xiàn)象，這會(huì)導(dǎo)致對(duì)抗行為的可能性。出于這些原因，開(kāi)發(fā)用于發(fā)展對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部狀態(tài)的一些理解的方法是非常值得嘗試的。由于網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量非常龐大，這成為使得對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)分析顯得比較困難，尤其是對(duì)于無(wú)監(jiān)督數(shù)據(jù)分析。

在這篇文章中，將討論如何使用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析來(lái)深入了解卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)的工作過(guò)程。本文所舉示例完全來(lái)自對(duì)圖像數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)，但我們確信拓?fù)浣？梢院苋菀椎亟忉屧S多其他領(lǐng)域卷積網(wǎng)絡(luò)的工作過(guò)程。

首先，對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，一般是由節(jié)點(diǎn)和有向邊組成。一些節(jié)點(diǎn)被指定為輸入節(jié)點(diǎn)，其他節(jié)點(diǎn)被指定為輸出節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)被指定為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。輸入節(jié)點(diǎn)是數(shù)據(jù)集的特征。例如，在處理圖像時(shí)，輸入節(jié)點(diǎn)將是特定圖像格式的像素。在文本分析時(shí)，它又可能是單詞。假設(shè)給定一個(gè)數(shù)據(jù)集和一個(gè)分類問(wèn)題，比如手寫(xiě)數(shù)字MNIST數(shù)據(jù)集，試圖將每個(gè)圖像分類為數(shù)字0到9中的某一個(gè)數(shù)字。網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)變量值(激活值)。因此，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)內(nèi)部和輸出節(jié)點(diǎn)生成值。網(wǎng)絡(luò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值由分配給每個(gè)邊的權(quán)重系統(tǒng)決定。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)Z上的值由與之連接的節(jié)點(diǎn)A，B，C，D節(jié)點(diǎn)的激活函數(shù)來(lái)確定。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)示例

基于分配給四條邊的的權(quán)重值，計(jì)算最右邊節(jié)點(diǎn)Z的激活值。一種可能的函數(shù)形式就是

其中wA，wB，wC和wD是與邊緣AZ，BZ，CZ和DZ的權(quán)重值，xA，xB，xC和xD分別是節(jié)點(diǎn)A，B，C和D處的激活值，取值范圍通常在0和1之間，并且通常是單調(diào)的。權(quán)重的選擇是通過(guò)輸出函數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化的，給定輸入的特定輸出函數(shù)(代價(jià)函數(shù)或損失函數(shù))，然后使用優(yōu)化過(guò)程來(lái)選擇所有權(quán)重，以便***地適合給定的輸出函數(shù)，對(duì)這方面感興趣的讀者可以查閱梯度下降算法和反向傳播算法相關(guān)資料。

2.理解訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重

有一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像處理領(lǐng)域取得了很好的成績(jī)，即卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在這種情況下，輸入節(jié)點(diǎn)被布置在對(duì)應(yīng)于像素矩陣的方形網(wǎng)格中，用于構(gòu)成圖像的數(shù)據(jù)。網(wǎng)絡(luò)模型由一系列圖層組成，且每層之間都有連接，即第i層的節(jié)點(diǎn)與位于第(i + 1)層的節(jié)點(diǎn)之間有連接。不同于一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，典型的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由卷積層(convolutional layers )、采樣層(Pooling layer)以及全連接層(fully-connected)組成，其中卷積層主要是用于提取圖像特征，采樣層用于降低特征的維度，全連接層用于***的分類目的，隨著層與層之間的處理，特征圖會(huì)變得越來(lái)越小，從圖中也可以看見(jiàn)這種現(xiàn)象：

圖2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的典型結(jié)構(gòu)

為了理解卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的潛在行為，需要對(duì)權(quán)重矩陣進(jìn)行了解。假設(shè)一個(gè)數(shù)據(jù)集，其中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是與隱藏層中的神經(jīng)元相關(guān)聯(lián)的權(quán)重矩陣。從固定層的所有網(wǎng)格中收集數(shù)據(jù)，并在同一網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)同一數(shù)據(jù)集進(jìn)行許多次的訓(xùn)練。***，對(duì)權(quán)重矩陣進(jìn)行拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析。

通過(guò)對(duì)權(quán)重矩陣執(zhí)行TDA，我們***了解了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為，獨(dú)立證明卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完全地表示自然圖像中發(fā)生的潛在分布，這是如何完成的呢?

首先，需要從拓?fù)浣嵌日业接杏玫慕Y(jié)構(gòu)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，只考慮密度足夠高的點(diǎn)。首先看一下兩層卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的***個(gè)卷積層，它產(chǎn)生圖3所示的拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

圖3 根據(jù)過(guò)濾器的密度著色的TDA Mapper模型

從圖中可以看到，該模型是循環(huán)的。右側(cè)顯示的條形碼為持久性同源條形碼，它們是拓?fù)湫螤畹暮灻砻鲾?shù)據(jù)集實(shí)際具有這種形狀，并且它不是使用Mapper構(gòu)建模型的構(gòu)建。通過(guò)用相應(yīng)權(quán)重矩陣的平均值標(biāo)記部分模型，圖像中也顯示了對(duì)形狀的解釋。此外，這個(gè)模型的有趣之處在于灰度自然圖像中統(tǒng)計(jì)3×3圖像塊的研究中發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容與在所謂的初級(jí)視覺(jué)皮層中發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容完全一致。

更簡(jiǎn)單地說(shuō)，拓?fù)淠Ｐ鸵赃@樣一種方式描述CNN，即可以獨(dú)立地確認(rèn)它與人類看待世界的方式相匹配，并與自然圖像的密度分析相匹配。

圖3中的分析是在MNIST數(shù)據(jù)集上進(jìn)行的，對(duì)CIFAR 10數(shù)據(jù)集上執(zhí)行的相關(guān)分析獲得下圖：

圖4 CIFAR 10數(shù)據(jù)集的額外復(fù)雜性顯示在水平線和垂直線上

上圖是對(duì)***個(gè)卷積層進(jìn)行分析，該模型在區(qū)域中間以及邊緣包含線條。觀察到這些線條塊的神經(jīng)元也存在于哺乳動(dòng)物的初級(jí)視覺(jué)皮層中，這為我們提供了與視覺(jué)相關(guān)的質(zhì)量方面的量化視角。

3.理解權(quán)重在訓(xùn)練過(guò)程中的變化

從上面的發(fā)現(xiàn)可以看到，使用TDA，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以模擬自然圖像中數(shù)據(jù)集的分布，因此可以將注意力轉(zhuǎn)向研究學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)生的事情。圖5是通過(guò)在CIFAR10數(shù)據(jù)集上計(jì)算卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的***層和第二層中的拓?fù)淠Ｐ停缓笤诓煌螖?shù)的學(xué)習(xí)迭代中顯示模型的***層和第二層而獲得。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型各個(gè)階段的拓?fù)淠Ｐ?/center>

對(duì)模型進(jìn)行著色來(lái)獲取模型進(jìn)行處理的信息，顏色反映了節(jié)點(diǎn)中數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量，因此可以將紅色部分視為實(shí)際模型，其余部分包含不常出現(xiàn)的權(quán)重矩陣。

圖像中的***行反映***層的信息，并且觀察到，優(yōu)化算法進(jìn)行400和500次迭代后快速發(fā)現(xiàn)上述圓形模型。然而，隨著迭代的過(guò)程，圓形變?yōu)楦鼜?fù)雜，其中包括與水平和垂直補(bǔ)丁相對(duì)應(yīng)的補(bǔ)丁，1000次迭代后，模型中心變得更復(fù)雜。另一方面，對(duì)于第二層，在迭代的***輪中可以看到，只有一個(gè)弱模式，但是在2000次迭代之后，似乎具有一個(gè)明確定義的圓形模型。我們對(duì)其進(jìn)行假設(shè)——第二層已經(jīng)“接管”了***層，而***層已經(jīng)轉(zhuǎn)移到捕獲更復(fù)雜的補(bǔ)丁，這是未來(lái)潛在研究的一個(gè)領(lǐng)域。這也證明了使用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析來(lái)監(jiān)控和提供對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過(guò)程的洞察力的能力。

4.更高層的權(quán)重矩陣

這種方法也適用于更深的網(wǎng)絡(luò)，更深的網(wǎng)絡(luò)的組織方式類似于人類或靈長(zhǎng)類動(dòng)物視覺(jué)通路的組織。應(yīng)理解，該通路具有許多組分，包括視網(wǎng)膜，以及各種較高組分。初級(jí)視覺(jué)皮層充當(dāng)邊緣和線檢測(cè)器，并且更高的組件用來(lái)檢測(cè)更為復(fù)雜的形狀，更為抽象。下圖是對(duì)已經(jīng)訓(xùn)練好VGG 16網(wǎng)絡(luò)中各層的研究結(jié)果。這里顯示第2到第13卷積層的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析，給出對(duì)應(yīng)的拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

 

圖6 以拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析為代表的13層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

注意到，第二層和第三層顯然非常類似于在MNIST數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練的模型中獲得的圓形模型。第四層有一個(gè)圓形模型，但也包含一些背景中的一些線條。然而，在更高層次上，開(kāi)發(fā)出了非常有趣的模式，包括線條交叉和“牛眼”。

從這些拓?fù)淠Ｐ涂梢园l(fā)現(xiàn)，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅模仿真實(shí)世界數(shù)據(jù)集的分布，而且還能夠模擬哺乳動(dòng)物視覺(jué)皮層的發(fā)展。

雖然卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)像一個(gè)黑匣子一樣讓人難以理解，但拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析提供了一種在宏觀尺度上理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算是如何被執(zhí)行的方法。雖然這項(xiàng)工作適用于圖像數(shù)據(jù)集，但使用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析來(lái)解釋其他領(lǐng)域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算同樣也適用。

通過(guò)將大量狀態(tài)壓縮成更小更易理解的模型，拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析可用于理解寬范圍神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為和功能。

作者：Gunnar Carlsson，機(jī)器學(xué)習(xí)研究者