異常檢測可以作為異常值分析的一項統計任務來處理。但是如果我們開發一個機器學習模型，它可以像往常一樣自動化，可以節省很多時間。

異常檢測有很多用例。信用卡欺詐檢測、故障機器檢測或基于異常特征的硬件系統檢測、基于醫療記錄的疾病檢測都是很好的例子。還有更多的用例。異常檢測的應用只會越來越多。

在本文中，我將解釋在Python中從頭開始開發異常檢測算法的過程。

公式和過程

與我之前解釋過的其他機器學習算法相比，這要簡單得多。該算法將使用均值和方差來計算每個訓練數據的概率。

如果一個訓練實例的概率很高，這是正常的。如果某個訓練實例的概率很低，那就是一個異常的例子。對于不同的訓練集，高概率和低概率的定義是不同的。我們以后再討論。

如果我要解釋異常檢測的工作過程，這很簡單。

1. 使用以下公式計算平均值：

這里m是數據集的長度或訓練數據的數量，而$x^i$是一個單獨的訓練例子。如果你有多個訓練特征，大多數情況下都需要計算每個特征能的平均值。

2. 使用以下公式計算方差：

這里，mu是上一步計算的平均值。

3. 現在，用這個概率公式計算每個訓練例子的概率。

不要被這個公式中的求和符號弄糊涂了！這實際上是Sigma代表方差。

稍后我們將實現該算法時，你將看到它的樣子。

4.我們現在需要找到概率的臨界值。正如我前面提到的，如果一個訓練例子的概率很低，那就是一個異常的例子。

低概率有多大？

這沒有普遍的限制。我們需要為我們的訓練數據集找出這個。

我們從步驟3中得到的輸出中獲取一系列概率值。對于每個概率，通過閾值的設置得到數據是否異常

然后計算一系列概率的精確度、召回率和f1分數。

精度可使用以下公式計算

召回率的計算公式如下：

在這里，True positives（真正例）是指算法檢測到一個異常的例子的數量，而它真實情況也是一個異常。

False Positives（假正例）當算法檢測到一個異常的例子，但在實際情況中，它不是異常的，就會出現誤報。

False Negative（假反例）是指算法檢測到的一個例子不是異常的，但實際上它是一個異常的例子。

從上面的公式你可以看出，更高的精確度和更高的召回率總是好的，因為這意味著我們有更多的真正的正例。但同時，假正例和假反例起著至關重要的作用，正如你在公式中看到的那樣。這需要一個平衡點。根據你的行業，你需要決定哪一個對你來說是可以忍受的。

一個好辦法是取平均數。計算平均值有一個獨特的公式。這就是f1分數。f1得分公式為：

這里，P和R分別表示精確性和召回率。

根據f1分數，你需要選擇你的閾值概率。

異常檢測算法

我將使用Andrew Ng的機器學習課程的數據集，它具有兩個訓練特征。我沒有在本文中使用真實的數據集，因為這個數據集非常適合學習。它只有兩個特征。在任何真實的數據集中，都不可能只有兩個特征。

首先，導入必要的包

import pandas as pd  
import numpy as np 

導入數據集。這是一個excel數據集。在這里，訓練數據和交叉驗證數據存儲在單獨的表中。所以，讓我們把訓練數據帶來。

df = pd.read_excel('ex8data1.xlsx', sheet_name='X', header=None) 
df.head() 

讓我們將第0列與第1列進行比較。

plt.figure() 
plt.scatter(df[0], df[1]) 
plt.show() 

你可能通過看這張圖知道哪些數據是異常的。

檢查此數據集中有多少個訓練示例：

m = len(df) 

計算每個特征的平均值。這里我們只有兩個特征：0和1。

s = np.sum(df, axis=0) 
mu = s/m 
mu 

輸出：

0    14.112226 
1    14.997711 
dtype: float64 

根據上面“公式和過程”部分中描述的公式，讓我們計算方差：

vr = np.sum((df - mu)**2, axis=0) 
variance = vr/m 
variance 

輸出：

0    1.832631 
1    1.709745 
dtype: float64 

現在把它做成對角線形狀。正如我在概率公式后面的“公式和過程”一節中所解釋的，求和符號實際上是方差

var_dia = np.diag(variance) 
var_dia 

輸出：

array([[1.83263141, 0.        ], 
       [0.        , 1.70974533]]) 

計算概率：

k = len(mu) 
X = df - mu 
p = 1/((2*np.pi)**(k/2)*(np.linalg.det(var_dia)**0.5))* np.exp(-0.5* np.sum(X @ np.linalg.pinv(var_dia) * X,axis=1)) 
p 

訓練部分已經完成。

下一步是找出閾值概率。如果概率低于閾值概率，則示例數據為異常數據。但我們需要為我們的特殊情況找出那個閾值。

對于這一步，我們使用交叉驗證數據和標簽。

對于你的案例，你只需保留一部分原始數據以進行交叉驗證。

現在導入交叉驗證數據和標簽：

cvx = pd.read_excel('ex8data1.xlsx', sheet_name='Xval', header=None) 
cvx.head() 

標簽如下：

cvy = pd.read_excel('ex8data1.xlsx', sheet_name='y', header=None) 
cvy.head() 

我將把'cvy'轉換成NumPy數組，因為我喜歡使用數組。不過，數據幀也不錯。

y = np.array(cvy) 

輸出：

# 數組的一部分 
array([[0], 
       [0], 
       [0], 
       [0], 
       [0], 
       [0], 
       [0], 
       [0], 
       [0], 

這里，y值0表示這是一個正常的例子，y值1表示這是一個異常的例子。

現在，如何選擇一個閾值？

我不想只檢查概率表中的所有概率。這可能是不必要的。讓我們再檢查一下概率值。

p.describe() 

輸出：

count    3.070000e+02 
mean     5.905331e-02 
std      2.324461e-02 
min      1.181209e-23 
25%      4.361075e-02 
50%      6.510144e-02 
75%      7.849532e-02 
max      8.986095e-02 
dtype: float64 

如圖所示，我們沒有太多異常數據。所以，如果我們從75%的值開始，這應該是好的。但為了安全起見，我會從平均值開始。

因此，我們將從平均值和更低的概率范圍。我們將檢查這個范圍內每個概率的f1分數。

首先，定義一個函數來計算真正例、假正例和假反例：

def tpfpfn(ep): 
    tp, fp, fn = 0, 0, 0 
    for i in range(len(y)): 
        if p[i] <= ep and y[i][0] == 1: 
            tp += 1 
        elif p[i] <= ep and y[i][0] == 0: 
            fp += 1 
        elif p[i] > ep and y[i][0] == 1: 
            fn += 1 
    return tp, fp, fn 

列出低于或等于平均概率的概率。

eps = [i for i in p if i <= p.mean()] 

檢查一下列表的長度

len(eps) 

輸出：

133 

根據前面討論的公式定義一個計算f1分數的函數：

def f1(ep): 
    tp, fp, fn = tpfpfn(ep) 
    prec = tp/(tp + fp) 
    rec = tp/(tp + fn) 
    f1 = 2*prec*rec/(prec + rec) 
    return f1 

所有函數都準備好了！

現在計算所有epsilon或我們之前選擇的概率值范圍的f1分數。

f = [] 
for i in eps: 
    f.append(f1(i)) 
f 

輸出：

[0.14285714285714285, 
 0.14035087719298248, 
 0.1927710843373494, 
 0.1568627450980392, 
 0.208955223880597, 
 0.41379310344827586, 
 0.15517241379310345, 
 0.28571428571428575, 
 0.19444444444444445, 
 0.5217391304347826, 
 0.19718309859154928, 
 0.19753086419753085, 
 0.29268292682926833, 
 0.14545454545454545, 

這是f分數表的一部分。長度應該是133。

f分數通常在0到1之間，其中f1得分越高越好。所以，我們需要從剛才計算的f分數列表中取f的最高分數。

現在，使用“argmax”函數來確定f分數值最大值的索引。

np.array(f).argmax() 

輸出：

131 

現在用這個索引來得到閾值概率。

e = eps[131] 
e 

輸出：

6.107184445968581e-05 

找出異常實例

我們有臨界概率。我們可以從中找出我們訓練數據的標簽。

如果概率值小于或等于該閾值，則數據為異常數據，否則為正常數據。我們將正常數據和異常數據分別表示為0和1，

label = [] 
for i in range(len(df)): 
    if p[i] <= e: 
        label.append(1) 
    else: 
        label.append(0) 
label 

輸出：

[0, 
 0, 
 0, 
 0, 
 0, 
 0, 
 0, 
 0, 
 0, 
 0, 

這是標簽列表的一部分。

我將在上面的訓練數據集中添加此計算標簽：

df['label'] = np.array(label) 
df.head() 

我在標簽為1的地方用紅色繪制數據，在標簽為0的地方用黑色繪制。以下是結果。

有道理嗎？

是的，對吧？紅色的數據明顯異常。

結論

我試圖一步一步地解釋開發異常檢測算法的過程，我希望這是可以理解的。如果你僅僅通過閱讀就無法理解，建議你運行每一段代碼。那就很清楚了。