代數(shù)簇及其方程。

代數(shù)幾何是兩種數(shù)學(xué)分支的融合，一端是代數(shù)——關(guān)于方程的研究，另一端是幾何——關(guān)于形狀的研究。代數(shù)幾何所做的就是將抽象的代數(shù)中解決問題的方法應(yīng)用到幾何中復(fù)雜而具體的形狀、曲面、空間和曲線。

代數(shù)幾何的基本問題是對一組多項式方程的解集進行分類，簡單說來就是對空間進行分類。其研究的基本對象名為代數(shù)簇（Algebraic variety），也就是多項式方程組的解集的幾何表示。

而法諾簇（Fano variety）是一類重要的代數(shù)簇。從某種意義上說，它們是數(shù)學(xué)形狀的「原子片段」（Atomic pieces）。法諾簇在弦理論中也起著重要的作用。

法諾簇是幾何形狀的基本構(gòu)建塊，它們是數(shù)學(xué)形狀的「原子塊」。法諾簇分類的最新進展包括分析一個稱為量子周期（Quantum period）的不變性。這是一系列整數(shù)，為法諾簇提供了數(shù)值指紋。據(jù)推測，法諾簇是由其量子周期唯一決定的。如果這是真的，則應(yīng)該能夠直接從其量子周期恢復(fù)法諾簇的幾何特性。

近日，來自諾丁漢大學(xué)（University of Nottingham）和倫敦帝國學(xué)院（Imperial College London）的數(shù)學(xué)家首次使用機器學(xué)習(xí)來擴展和加速識別「原子形狀」（Atomic shapes）的研究，這些「原子形狀」構(gòu)成了更高維度的基本幾何形狀。

具體而言，研究人員將機器學(xué)習(xí)應(yīng)用于一個問題：X 的量子周期是否知道 X 的維度？請注意，尚無對此的理論理解。研究表明，簡單的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以以 98％ 的精度確定 X 的維度。在此基礎(chǔ)上，研究人員在一類法諾簇的量子周期內(nèi)建立了嚴(yán)格的漸近性。這些漸近性決定了 X 的量子周期的維度。結(jié)果表明，在缺乏理論理解的情況下，機器學(xué)習(xí)可以從復(fù)雜的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)中挑選結(jié)構(gòu)。他們還為猜想提供了積極的證據(jù)，即法諾簇的量子周期決定了多樣性。

該研究以《Machine learning the dimension of a Fano variety》為題，于 2023 年 9 月 8 日發(fā)布在《Nature Communications》上。

論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-023-41157-1

該研究小組幾年前就開始了創(chuàng)建形狀元素周期表的研究。原子碎片被稱為法諾簇。該團隊將一組稱為量子周期的數(shù)字序列與每個形狀聯(lián)系起來，給出描述形狀的「條形碼」或「指紋」。他們最近的突破使用了一種新的機器學(xué)習(xí)方法來快速篩選這些條形碼，從而識別形狀及其屬性，例如每個形狀的尺寸。

Alexander Kasprzyk 說：「對于數(shù)學(xué)家來說，關(guān)鍵步驟是確定在給定問題中的模式。這可能非常困難，一些數(shù)學(xué)理論可能需要數(shù)年的時間才能發(fā)現(xiàn)。」

Tom Coates 教授說：「這是人工智能可以真正徹底改變數(shù)學(xué)的地方，因為我們已經(jīng)證明機器學(xué)習(xí)是在代數(shù)和幾何等復(fù)雜領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)模式的強大工具。」

Sara Veneziale 說：「我們對可以在純數(shù)學(xué)中使用機器學(xué)習(xí)的事實感到非常興奮。這將加速整個領(lǐng)域的新見解。」

總之，該研究表明，機器學(xué)習(xí)可以在復(fù)雜的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以前未知的結(jié)構(gòu)，并且是開發(fā)嚴(yán)格數(shù)學(xué)結(jié)果的強大工具。它還提供了法諾簇程序中基本猜想的證據(jù)：法諾簇的正則量子周期決定了這種變化。