近期，一個數(shù)十年來未解決的數(shù)學難題首次取得了進展。

推動這項進展的是來自加州大學洛杉磯分校的研究生 James Leng 和麻省理工學院數(shù)學研究生 Ashwin Sah、哥倫比亞大學助理教授 Mehtaab Sawhney。其中James Leng 師從著名數(shù)學家陶哲軒，Ashwin Sah 師從離散數(shù)學大牛趙宇飛。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2402.17995

要了解這項研究取得的突破，需要從算術級數(shù)說起。

等差數(shù)列的前 n 項和稱為一個等差級數(shù)，也稱為算術級數(shù)。1936 年，數(shù)學家 Paul Erd?s 和 Pál Turán 猜想：如果一個集合由整數(shù)的非零分數(shù)組成（即使是 0.00000001%），那么它一定包含任意長的算術級數(shù)。唯一可以避免算術級數(shù)的集合是那些包含整數(shù)「可忽略不計」部分的集合。例如，集合 {2, 4, 8, 16, …}，其中每個數(shù)字都是前一個數(shù)字的兩倍，它沿著數(shù)軸分散，沒有級數(shù)。

1975 年，數(shù)學家 Endre Szemerédi 證明了這個猜想。他的工作催生了數(shù)學家至今仍在探索的多種研究方向。

數(shù)學家們在有限數(shù)集（從 1 到某個數(shù) N 之間的所有整數(shù)）的情況下建立了 Szemerédi 的結果。在不可避免地包含一個被禁止的級數(shù)之前，集合中可以使用的部分占初始池的多少？隨著 N 的變化，這個占比會如何變化？

例如，令 N 為 20，那么可以寫下這 20 個數(shù)字中的多少個，同時仍然避免長度為 5 個或更多數(shù)字的級數(shù)？事實證明，答案是初始池的 16% 到 80%。

Szemerédi 是第一個證明隨著 N 的增長，這個占比必須縮小到零的人，后來數(shù)學家們一直試圖量化該情況發(fā)生的速度。

去年，兩位計算機科學家的突破性工作幾乎解決了三項級數(shù)的問題，例如 {6, 11, 16}。但當你試圖避免四項或更多項的算術級數(shù)時，問題就變得更加困難。這是因為較長的級數(shù)反映了經典數(shù)學方法難以揭示的潛在結構。

三項算術級數(shù)中的數(shù)字 x、y 和 z 始終滿足簡單方程 x – 2y + z = 0（以級數(shù) {10, 20, 30} 為例：10 – 2*(20) + 30 = 0），證明一個集合是否包含滿足這種條件的數(shù)字相對容易。而四項級數(shù)中的數(shù)字還必須滿足更復雜的方程 x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0，具有五項或更多項的級數(shù)必須滿足更復雜的方程。這意味著包含此類級數(shù)的集合會表現(xiàn)出更微妙的模式。數(shù)學家也更難證明這種模式是否存在。

20 世紀 90 年代末，數(shù)學家 Timothy Gowers 提出了一種克服這一障礙的理論。后來他被授予菲爾茲獎，這是數(shù)學界的最高榮譽，部分原因是因為這項工作。2001 年，他將自己的方法應用于 Szemerédi 定理，證明了最大集合大小的更好界限，避免了任何給定長度的算術級數(shù)。

2022 年，當時正讀加州大學洛杉磯分校研究生二年級的 James Leng 開始理解 Gowers 的理論。他沒有考慮 Szemerédi 定理。相反，他希望回答與 Gowers 的方法相關的問題。

然而，努力探索了一年多，他一無所獲。

一直在思考相關問題的 Sah 和 Sawhney 了解了 Leng 的工作，他們很感興趣，Sawhney 甚至說道：「我很驚訝竟然可以這樣思考」。

Sah 和 Sawhney 意識到 Leng 的研究可能有助于他們在 Szemerédi 定理上取得進一步進展。幾個月之內，三位年輕的數(shù)學家就想出了如何在沒有五項級數(shù)的情況下獲得更好的集合大小上限。然后，他們將工作擴展到任意長度的級數(shù)，這標志著自 Gowers 證明以來 23 年來該問題的首次取得進展。

令表示，沒有 k 項算術級數(shù)的最大子集的大小。Leng、Sah 和 Sawhney 證明，對于 k ≥ 5，存在 c_k > 0 使得。

研究團隊

論文一作 James Leng 是加州大學洛杉磯分校 (UCLA) 的數(shù)學研究生，本科畢業(yè)于加州大學伯克利分校。他師從著名數(shù)學家陶哲軒。

James Leng 的研究興趣包括算術組合學、動力系統(tǒng)和傅里葉分析等等。他的研究還曾得到 NSF 研究生獎學金的支持。

James Leng

Ashwin Sah 從小就喜歡數(shù)學，他在競賽中接觸到了高等數(shù)學并表現(xiàn)優(yōu)異。2016 年夏天，16 歲的 Sah 奪得國際奧林匹克數(shù)學競賽（IMO）的金牌，次年他進入 MIT 求學。

Ashwin Sah

在 MIT 讀書期間，有兩個人對 Sah 的數(shù)學發(fā)展起到重要作用。第一個是離散數(shù)學大牛趙宇飛（Yufei Zhao）教授，他也是 Sah 的研究生導師。

第二個就是 Mehtaab Sawhney，他們在課堂上相遇并成為朋友。后來，二人一起做研究，共同探討離散數(shù)學領域內的多個主題，如圖論、概率論和隨機矩陣的屬性。2017 年底，Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 在（MIT）讀本科時相識。從那時起，兩人一起編寫了令人難以置信的 57 個數(shù)學證明，其中許多在各個領域產生了深遠的影響。

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney 現(xiàn)在是哥倫比亞大學助理教授。他的研究興趣包括組合學、概率和理論計算機科學等等。