為什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3？這篇文章，我們將通過這個示例來分析浮點數在計算機中是如何存儲的？

一、定點數

1. 定義

定點數，比較簡單，從字面上理解為小數點固定的數。比如，100，3.14，200.08等等都可以看成是定點數。

通常意義上，定點數表示整數或小數，可以分為以下三種情況：

• 純整數：例如，400，小數點在最后一位，可以忽略
• 純小數：例如，0.68，小數點固定在最高位
• 整數+小數：例如，3.14、9.18，小數點在指定某個位置

接下來，我們一起看看定點數的十進制和二進制的相互轉換。

2. 十進制整數轉二進制

將十進制數轉換為二進制數，通過不斷地除以 2，直到商為 0。步驟：

• 將十進制數除以2，記錄商和余數
• 將商再次除以2，記錄新的商和余數
• 重復這個過程，直到商為 0為止
• 從下往上讀取所有的余數，就得到了轉換后的二進制數

比如：將十進制的 38轉換成二進制：

38 / 2 = 19 余 0
19 / 2 = 9  余 1
9  / 2 = 4  余 1
4  / 2 = 2  余 0
2  / 2 = 1  余 0
1  / 2 = 0  余 1

所以，(38)?? 的二進制是 (100110)?

3. 二進制整數轉十進制

將二進制數轉換為十進制數，根據權值展開法，將每一位上的數字與其對應的權值相乘，然后將所有結果相加。權值是 2的冪，從右向左依次增加。

例如，將二進制數 100110轉換成十進制：

1*2? + 0*2? + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*2?
= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0
= 38

所以，(100110)? 的十進制是 (38)??

4. 十進制小數轉二進制

十進制小數轉二進制分兩部分：整數部分轉換上面已經講解了，小數部分采用“乘2取整，從上到下順序排列”。

例如，十進制小數 10.75 轉為二進制小數：

# 整數部分
10 / 2 = 5 余 0
5  / 2 = 2 余 1
2  / 2 = 1 余 0
1  / 2 = 0 余 1

# 小數部分
0.75 * 2 = 1.5 取整數部分 1
0.5  * 2 = 1.0 取整數部分 1

所以，(10.75)?? 的二進制是 (1010.11)?

5 二進制小數轉十進制

十進制小數轉二進制分兩部分，整數部分轉為二進制上面已經講解了，小數部分采用“乘2取整，從上到下順序排列”。

例如，二進制小數轉十進制小數：

# 整數部分
1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*2?
= 8 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 10

# 小數部分
1*2?1 + 1*2?2
= 0.5 + 0.25
= 0.75

# 整數部分 + 小數部分
10 + 0.75 = 10.7

所以，(1010.11)? 的十進制是 (10.75)??

6. 定點數的優缺點

(1) 優點

定點數的精度是固定的，可以根據需求進行靈活調整，這使得它們在需要固定精度的應用中非常有用。

(2) 缺點

定點數的精度是固定的，這意味著在處理大范圍或者需要高精度的數據時，可能會丟失精度或者溢出。

比如，以 1個字節（8 bit）為例，假如約定前 4位表示整數部分，后 4位表示小數部分，因此，可以表達的最大數是：(1111.1111)?=(15.9375)??。

如果想要表示更大范圍的值，怎么辦？

• 增加 bit：比如，使用 2個字節（16 bit）、4個字節（32bit），這樣整數部分和小數部分都增加了，表示的數字范圍也變大了。
• 小數點右移：小數點右移，整數范圍就變大了，因此整個數字范圍就變大了，但是小數部分的精度就會越來越低。

因此，對于表示大范圍或者高精度的數，定點數存在其局限性，這時候“浮點數”就派上用場了。

二、IEEE 754

在講解浮點數之前，我們需要先了解一個很重要的標準：IEEE 754，它是 20世紀80年代以來最廣泛使用的浮點數運算標準，為許多 CPU、浮點運算器和編程語言（比如 Java）所采用。

這個標準定義了以下規范：

• 表示浮點數的格式（包括負零-0）與反常值（Denormal number）；
• 一些特殊數值（無窮 Inf與非數值 NaN），以及這些數值的浮點數運算；
• 指明了四種數值修約規則和五種例外狀況（包括例外發生的時機與處理方式）；

另外，在 IEEE 754標準推出之前，各個計算機公司對于浮點數的表示沒有一個業界通用的標準，這給數據交換、計算機協同工作造成了極大不便，直到 1985年，IEEE 組織推出了 IEEE 754浮點數標準，才結束了這混亂的局面。

三、浮點數

1. 什么是浮點數？

浮點數，是相對定點數而言的，從字面上可以解釋為：小數點在浮動的數。在計算機科學中，浮點數是一種用于表示帶有小數點的實數的數據類型，通常采用了科學計數法表示。

如下例子，十進制小數 300.14，用科學計數法表示，可以有多種方式，整體看上去，小數點好像在浮動。

300.14 = 30.014 × 101
300.14 = 3.0014 × 102
300.14 = 0.31004 × 103

在 IEEE 754標準中，浮點數在內存中以二進制形式存儲，分為四個部分：符號位、基數、指數部分和尾數部分。

• 符號位（Sign bit）：用于表示數值的正負。0表示正數，1表示負數。
• 指數部分（Exponent）：用于表示數值的大小范圍。該部分存儲的是一個無符號整數，通常采用偏移表示，即用實際指數加上一個固定偏移值。
• 基數（Base）：也稱為進制或底數，常見的基數包括十進制（基數為10）、二進制（基數為2）、八進制（基數為8）、十六進制（基數為16）等。
• 尾數部分（Mantissa/Significand）：用于表示數值的精度和小數部分。在IEEE 754中，尾數總是處于[1,2)之間的一個小數，這樣可以省略掉小數點前面的 1，從而節省了一個 bit。注意：significand 和 mantissa 都是用來指代浮點數中的尾數部分，只不過 mantissa是早期計算機的叫法。兩個術語可以互換，用來表示浮點數中的尾數部分。

下圖以 300.14為例展示了一個浮點數的構成：

2. 浮點數的精度

在IEEE 754標準中規定了 4種主要的浮點數類型：單精度浮點數（float）、雙精度浮點數（double）、延伸單精確度以及延伸雙精確度。

(1) 單精度浮點數（float）

單精度浮點數占用 32位（4個字節），其中，符號占 1位，指數部分占 8位，尾數部分占 23位。指數部分可以表示的范圍是 0～255，因為存在偏移量，因此指數的實際范圍是從-126～+127，即 2?12?～212?，轉換成十進制，范圍大約為 ±3.4x10?3? 到 ±3.4x103?之間。

(2) 雙精度浮點數（double）

雙精度浮點數占用 64位（8個字節），其中，符號占 1位，指數部分占 11位，尾數部分占 52位。指數部分可以表示的范圍是 0～2047，因為存在偏移量，因此指數的實際范圍是從-1022～+1023，即 2?1?22～ 21?23，轉換成十進制，范圍大約為 ±1.7x10?3?? 到 ±1.7x103??之間。

(3) 延伸單精確度

因為不常用，所以本文不進行講解。

(4) 延伸雙精確度

因為不常用，所以本文不進行講解。

關于單精度浮點數和雙精度浮點數的二進制表示如下圖： 

在了解完定點數和浮點數的一些基本概念之后，接下來講解浮點數使用IEEE 754標準在內存是如何使用二進制存儲的， 這里是IEEE 754標準的精華部分，也是比較難理解的部分，我會通過實際的例子結合圖形進行分析。

3. 浮點數的IEEE754轉換

(1)  十進制轉二進制

這里以十進制轉 IEEE754單精度浮點數并且無精度丟失為例，核心流程包含 5個步驟：

① 確認 Sign符號位

比如，19.59375的符號為 0（正數），-1.1的符號為 1（負數），將結果值（0/1）填充到二進制的 Sign bit區域。

② 將十進制轉成純二進制

這個步驟，只是純粹地將十進制轉換成二進制。

• 對于整數部分，通過不斷地除以 2，直到商為 0；
• 對于小數部分，采用逐步乘 2取整，直到小數部分為 0或達到尾數所需的精度；

需要注意，對于小數部分處理結束的條件有 2個：小數部分為0 或 達到尾數所需的精度。只要滿足一個就OK，這里也是為什么小數會丟精度的關鍵所在，在下面的例子會進行講解。

對于沒有精度丟失的轉換，結束的條件是：小數部分為 0。

比如，0.25轉成二進制

0.25 x 2 = 0.5  0
 0.5 x 2 = 1.0  1 小數部分為0，結束

③ 標準化以確定尾數和無偏移指數

根據 IEEE 754標準，需要將二進制小數點放在最左邊的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，變成 1.00101x22，無偏移指數是 2；0.0011需要右移 3位，變成 1.1x2?3，無偏移指數是 -3。

這個步驟其實就是 IEEE 754標準的一個硬性規定，解決了上面提到的浮點數漂浮不定的問題。

④ 確認偏移指數

偏移指數，即用無偏移指數（步驟3 產生的結果）加上固定的偏移值127(2?-1=127)，再轉換成二進制。

假如，無偏移指數是 4，那么，偏移指數就等于4+127=131，轉換成二進制就是10000011，然后，將二進制結果值10000011填充到 Exponent指數區域。

⑤ 移除尾數的前導 1

在步驟3中，需要將二進制小數點放在最左邊的 1 之后，因此，每個小數點前面的值都是固定的 1（也叫做前導 1），在 IEEE 754標準中，會將這個前導 1移除，從而節省了 1個bit，再將結果值填充到二進制的 Significand尾數區域，不足部分填 0。

比如，1.001110011 移除小數點前固定的 1 變成了001110011，然后將結果值001110011填充到 Significand尾數區域。

為了更好的解釋上面 5個步驟，這里以十進制19.59375轉換成IEEE 754二進制為例進行講解，整個過程如下圖：

(2) 十進制轉二進制

這里以十進制轉 IEEE754單精度浮點數并且有精度丟失為例，核心流程包含 6個步驟：

① 確認 Sign符號位

比如，19.59375的符號為 0（正數），-1.1的符號為 1（負數），將結果值（0/1）填充到二進制的 Sign bit區域。

② 將十進制轉成純二進制

這個步驟，只是純粹地將十進制轉換成二進制。

• 對于整數部分，通過不斷地除以 2，直到商為 0；
• 對于小數部分，采用逐步乘 2取整，直到小數部分為 0或達到所需的精度；

需要注意，對于小數部分處理結束的條件有 2個：小數部分為0 或 達到尾數所需的精度。

對于有精度丟失的轉換，結束的條件是：達到所需的精度。

比如，0.3轉成二進制

0.3 x 2 = 0.6  0
0.6 x 2 = 1.2  1
0.2 x 2 = 0.4  0
0.4 x 2 = 0.8  0
0.8 x 2 = 1.6  1
0.6 x 2 = 1.2  1 開始進入循環，只能達到所需的精度后按需舍入結束
0.2 x 2 = 0.4  0

③ 標準化以確定尾數和無偏移指數

根據 IEEE 754標準，需要將二進制小數點放在最左邊的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，變成 1.00101x22，無偏移指數是 2；0.0011需要右移 3位，變成 1.1x2?3，無偏移指數是 -3。

這個步驟其實就是 IEEE 754標準的一個硬性規定，解決了上面提到的浮點數漂浮不定的問題。

④ 確認偏移指數

偏移指數，即用無偏移指數（步驟3 產生的結果）加上固定的偏移值127(2?-1=127)，再轉換成二進制。

假如，無偏移指數是 4，那么，偏移指數就等于4+127=131，轉換成二進制就是10000011，然后，將二進制結果值10000011填充到 Exponent指數區域。

⑤ 移除尾數的前導 1

在步驟3中，需要將二進制小數點放在最左邊的 1 之后，因此，每個小數點前面的值都是固定的 1（也叫做前導 1），在 IEEE 754標準中，會將這個前導 1移除，從而節省了 1bit，再將結果值填充到二進制的 Significand尾數區域，不足部分填0。

比如，1.001110011 移除小數點前固定的 1 變成了001110011，然后將結果值001110011填充到 Significand尾數區域。

⑥ 按需向上或者向下舍入

在步驟2中，小數部分轉換成二進制的時候不是因為乘 2使得小數部分為 0結束，而是因為產生了循環，導致達到了尾數所需的精度（單精度 23bit，雙精度 52bit），對于超出的精度范圍，需要如何處理？

答案：按需向上或者向下舍入

為了更好的解釋上面 6個步驟，這里以十進制-123.3轉換成 IEEE 754二進制為例進行講解，整體流程如下圖：

注意：截圖中步驟6黃色字體1001，是指超出尾數 23bit范圍的二進制數，需要被舍入

通過上面兩個例子的分析，相信大家還是會有困惑：為什么是二進制中存儲的是偏移指數而不是指針？為什么偏移指數是通過指數加上一個固定的偏移值？這個固定的偏移值是怎么計算的？為什么尾數需要把前導 1移除？IEEE 754 的舍入規則是什么？下面我們就一一解答。

(3) 二進制轉十進制

為了幫助大家更好地理解 IEEE 754的轉換，這里還提供了 2個 IEEE 754單精度浮點數二進制轉十進制的逆向例子，如下圖：

(4) 偏移指數

偏移指數，也叫指數偏移值（exponent bias），即浮點數表示法中指數域的編碼值，等于指數的實際值加上某個固定的偏移值，IEEE 754標準規定該固定值偏移為2 ??1-1，其中 e為存儲指數的 bit長度，因此，單精度浮點數的固定偏移值是2??1-1=127，雙精度浮點數的固定偏移值是211?1-1=1023。

(5) 為什么需要偏移指數？

從 1.00101 x 22 和 1.1 x 2?3 可以看出來，指數有正負數的區分，即有符號的區分，因此，IEEE 754標準中的偏移指數主要解決兩個問題：

• 表示負指數：在使用二進制表示浮點數的指數時，如果采用純粹的二進制表示，那么需要額外的符號位來表示指數的正負。采用偏移指數的方式，可以將指數全部看作非負數，因為將偏移量添加到指數部分后，所有的指數都是正數，0則表示了最小的指數。
• 排序浮點數：使用偏移指數的方式可以更容易地對浮點數進行排序。因此第 1點已經把指數全部轉換成了無符號，所以，浮點數的比較直接變成了對二進制的自然排序比較，不需要單獨處理符號位和指數部分的符號。

(6) 固定值偏移值如何計算？

① 單精度浮點數

對于單精度浮點數，它的指數域是 8個bit，表示的有符號范圍是-127～128(-2?-1 ~ 2?)，如何讓這個范圍 >=0 ？

答案：加上 127。所以，IEEE 754標準把 127設定為單精度浮點數的固定偏移值。

② 雙精度浮點數

同理，對于雙精度浮點數，它的指數域是 11個bit，表示的有符號范圍是-1023～1024(-21?-1 ~ 21?)，如何讓這個范圍 >=0 ？

答案：加上 1023。所以，IEEE 754標準把 1023設定為雙精度浮點數的固定偏移值。

具體信息如下圖：

(7) 為什么要移除尾數的前導 1？

在講解浮點數構成時提過，浮點數的小數點是浮動的，因此，IEEE 754標準定義了一套固定的格式：在二進制數中，通過移位，將小數點前面的值固定為 1，IEEE754 稱這種形式的浮點數為規范化浮點數。

因此，對于規范化浮點數，既然尾數的前導永遠是 1，那干脆不存儲，尾數其實比實際的多 1位，也就是說單精度的是 24位，雙精度是 52位。

(8) IEEE 754 的舍入規則 

關于舍入，IEEE 754標準提供了 4種方法：

① 舍入到最接近

這是 IEEE 754標準的默認方式，將結果舍入為最接近且可以表示的值，但是當存在兩個數一樣接近的時候，則取其中的偶數（在二進制中是以0結尾的）。

取偶數最關鍵的步驟是找到一個中間值，先確定要保留的有效數字，找到要保留的有效數字最低位的下一位。如果這位是進制的一半，而且之后的位數都為 0，則這個值就是中間值。

這里以二進制為例，有效位數保留到小數點后 2位：

• 10.00011，中間值為 10.00100，小于中間值，向下舍入為 10.00
• 10.00110，中間值為 10.00100，大于中間值，向上舍入為 10.01
• 10.11100，中間值為 10.11100，等于中間值，要保留的最低有效位 1 為奇數，向上舍入為 11.00
• 10.10100，中間值為 10.10100，等于中間值，要保留的最低有效位 0 為偶數，向下舍入為 10.10

因此，上述十進制-123.3轉換成 IEEE 754二進制例子的舍入方式，采用向上舍入，即最后一位 +1。

② 朝 +∞方向舍入

3個要點：

• 正數多余位不全為 0，進位1
• 正數多余位全為 0，直接截尾
• 負數直接截尾

這里以二進制為例，有效位數保留到小數點后 3位：

• 0.0011001，正數，從小數點后 4位起，不全為0，則向上進位（最后一位 +1），結果值為 1.010，
• 0.0010000，正數，從小數點后 4位起，全為0，則直接截尾（從 4位起全部舍棄），結果值為 0.001
• -0.0011010，負數直接截尾（從 4位起全部舍棄），結果值為 -0.001

③ 朝 -∞方向舍入

3個要點：

• 正數直接截尾
• 負數多余位全為0，直接截尾
• 負數多余位不全為 0，進位1

這里以二進制為例，有效位數保留到小數點后 3位：

• 0.0011001，正數，則直接截尾（從 4位起全部舍棄），結果值為 0.001
• -0.001000，負數，從小數點后 4位起全為 0，則直接截尾（從 4位起全部舍棄），結果值 -0.001
• -0.001101，負數，從小數點后 4位起不全為 0，則向上進位（最后一位 +1），結果值-0.010

④ 朝 0方向舍入

2個要點：

• 正數直接截尾
• 負數直接截尾

數學上有 4舍5入，計算機中 0舍1入，因此，朝 0方向舍入就是直接舍棄。

這里以二進制為例，有效位數保留到小數點后 3位：

• 0.001100，正數，則直接截尾（從 4位起全部舍棄）棄，結果值 0.001
• -0.001100，負數，則直接截尾（從 4位起全部舍棄）棄，結果值 -0.001

四、非規范浮點數

上文提到了規范化浮點數，既然有規范化浮點數，是不是也存在非規范化浮點數？非規范化浮點數又是什么呢？

在 IEEE 754標準中，將“指數部分全是0，尾數部分非0”這樣的浮點數稱為非規范化浮點數，一般用于表示 0或者無限接近 0的很小的數字。

另外，IEEE 754標準還規定：非規范化浮點數的指數偏移值比規范化浮點數的指數偏移值小 1。

例如，最小的規范化單精度浮點數的指數部分編碼值為1，指數的實際值為-126；而非規范化的單精度浮點數的指數域編碼值為0，對應的指數實際值也是 -126 而不是-127。實際上非規范化浮點數仍然是有效可以使用的，只是它們的絕對值已經小于所有的規約浮點數的絕對值；即所有的非規范化浮點數比規約浮點數更接近0。規約浮點數的尾數大于等于1且小于2，而非規范化浮點數的尾數小于1且大于0。

下圖展示了非規范化單精度浮點數的二進制表示：

五、特殊值

另外，IEEE 754中還定義4個特殊值，如下表：

• 正負無窮大：指數全是 1，尾數全是 0，代表這個數是正負無窮大（±∞），正負取決于 S符號位。
• NaN：指數全是 1，尾數非 0，代表這不是一個數字（NaN，Not a Number）。
• 0：指數全是 0，尾數全是0，代表這個數是±0，正負取決于 S符號位。
• 很小的值：指數全是 0，尾數不全是0，代表這個數是一個很小的非規范化浮點數。

六、浮點數的比較和運算

有了 IEEE 754標準，浮點數的比較就很簡單，基本上可以按照符號位、指數域、尾數域的順序作字典比較。顯然，所有正數大于負數；正負號相同時，指數的二進制表示法更大的其浮點數值更大。

浮點數的運算和函數包含以下幾種:

• 加減乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加減運算中負零與零相等：?0.0=0.0
• 平方根（Square root）：
• 浮點余數。返回值 x-(round(x/y)*y)。
• 近似到最近的整數 ?? ?? ?? ?? ??(??)。如果恰好在兩個相鄰整數之間，則近似到偶數。
• 比較運算. -Inf <負的規范化浮點數數<負的非規范化浮點數< -0.0 = 0.0 <正的非規范化浮點數<正的規范化浮點數< Inf；
• 特殊比較：-Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN與任何浮點數（包括自身）的比較結果都為假，即 (NaN ≠ x) = false.

七、為什么 1.0-0.9 != 0.1?

先看 Java中的一個例子：

通過運行結果可以發現：在 Java中，不管是單精度 float，還是雙精度 double，1.0 - 0.9 != 0.1，為什么？

從上面的講解，我們已經知道浮點數 IEEE 754標準在內存中的存儲方式，這里我們再簡單的分析1.0 - 0.9場景：

1.0 可以精確轉換成IEEE 754標準二進制為：0 01111111 00000000000000000000000

0.9 轉換成IEEE 754標準二進制為：

符號位：0
偏移指數：-1 + 127 = (126)?? = (0111 1110)?
尾數：
0.9 x 2 = 1.8  1
0.8 x 2 = 1.6  1
0.6 x 2 = 1.2  1
0.2 x 2 = 0.4  0
0.4 x 2 = 0.8  0
0.8 x 2 = 1.6  1 開始進入循環，只能達到所需的精度后按需舍入結束
0.6 x 2 = 1.2  1

在0.9 轉換成 IEEE 754標準的二進制時，出現了循環，這樣的話，不管是單精度還是雙精度，0.9轉換成二進制之后都有精度損失，所以，對于 float 或者 double浮點數 0.9，轉換后其真實值已經不是 0.9，因此，1.0 - 0.9 != 0.1。

當然，除了這個例子，還有很多經典的例子，比如 w s m 為什么等于 0.30000000000000004?

八、總結

本文講解了定點數和浮點數，重點分析了浮點數以及IEEE 754標準下浮點數是如何存儲的。

• 浮點數一般用科學計數法表示
• IEEE 754標準的浮點數二進制實際包含：符號位，偏移指數，尾數 3部分。
• 十進制小數在轉換為二進制時，如果可以精確轉換，則不存在精度丟失。
• 十進制小數在轉換為二進制時，如果無法精確轉換（存在循環或者超出尾數的范圍），則存在精度丟失的問題。
• IEEE 754舍入規則有 4種方法：舍入到最接近、朝 +∞方向舍入、朝 -∞方向舍入以及朝 0方向舍入。