航空作家兼研究員大衛(wèi)·諾蘭的一項(xiàng)研究表明，坐在商用飛機(jī)的后排在空難中會增加幸存的概率。

研究認(rèn)為每個(gè)座位的幸存概率是不一樣的，因此擬合優(yōu)度檢驗(yàn)會拒絕原假設(shè)，即每個(gè)座位的乘客幸存率都相等。根據(jù) 1971 年以后發(fā)生的 20 起商用飛機(jī)墜機(jī)的分析結(jié)果，商務(wù)艙或頭等艙的幸存率為 49%，經(jīng)濟(jì)艙中間或者前面的幸存率為 56%，而經(jīng)濟(jì)艙尾部的幸存率為 69%。

大衛(wèi)·諾蘭表示他并不會刻意坐在機(jī)艙的尾部，因?yàn)榘l(fā)生空難的可能性很低。他更喜歡靠窗的座位。

頻數(shù)分布表

核心概念：在處理大型數(shù)據(jù)集時(shí)，頻數(shù)分布表（或稱為頻數(shù)表）通常有助于整理和匯總數(shù)據(jù)。頻數(shù)分布表能幫助我們理解數(shù)據(jù)集分布的特點(diǎn)。此外，構(gòu)建頻數(shù)分布表通常是構(gòu)建直方圖的第一步，而直方圖是用于數(shù)據(jù)分布可視化的圖表。

頻數(shù)分布表（或頻數(shù)表）是通過展示數(shù)據(jù)類別（或組）以及每個(gè)類別中數(shù)據(jù)值的數(shù)量（頻數(shù)），來顯示數(shù)據(jù)是如何在不同類別（或組）間劃分的。

構(gòu)建頻數(shù)分布表的流程

構(gòu)建頻數(shù)分布表的目的是：①匯總大型數(shù)據(jù)集；②查看數(shù)據(jù)分布；③識別異常值；④為構(gòu)建圖

表（如直方圖）提供基礎(chǔ)。頻數(shù)分布表可以使用統(tǒng)計(jì)軟件生成，也可以通過如下步驟手動構(gòu)建。

1. 選擇分組的數(shù)目，通常在 5 到 20 之間。組數(shù)的選擇有時(shí)需要考慮使用近似值是否方便（根據(jù)“斯透奇斯規(guī)則”，最佳組數(shù)的選擇可以依據(jù) 1+(logn)/(log2) 近似，其中 n 是數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

2. 計(jì)算組距：

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對結(jié)果取整，以便得到一個(gè)方便使用的數(shù)字（通常向上取整）。使用特定的組數(shù)不是最為關(guān)鍵的，而更需要關(guān)注的是通過更改組數(shù)得到方便使用的組上下限。

3. 選擇最小值或低于最小值的某一個(gè)較為方便使用的值作為第一組的下限。

4. 通過第一組的下限與組距，得到其他組的下限（用第一組的下限加組距得到第二組的下限；用第二組的下限加組距得到第三組的下限，以此類推）。

5. 在一個(gè)數(shù)列中列出所有組的下限，然后確定并列出所有組的上限。

6. 求得每組的頻數(shù)。

在構(gòu)建頻數(shù)分布表時(shí)，要確保各組之間不重疊，即每個(gè)原始值只屬于其中一個(gè)組。即便是那些頻數(shù)為 0 的組，也要包含在內(nèi)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。另外，盡可能對所有的組使用相同的寬度，但有時(shí)也不可避免地需要使用開區(qū)間，如“65 歲或以上”。

空難原因頻數(shù)分布表

表 2-3 中列出了從 1960 年到最近幾年有關(guān)空難原因的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)是名目測量尺度下的分類數(shù)據(jù)，但也可以創(chuàng)建如表 2-3 所示的頻數(shù)分布表?？梢钥吹?，飛行員失誤是空難的主要原因。這些信息有助于美國聯(lián)邦航空管理局（Federal Aviation Administration）等監(jiān)管機(jī)構(gòu)制定減少此類事故的策略。

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用帕累托圖展示空難原因

圖2-8展示了基于表2-3的帕累托圖。圖 2-8 和表 2-3 使用了相同的數(shù)據(jù)，但圖 2-8 能讓讀者更加鮮明地看到，飛行員失誤是空難的最重要原因。另外，圖 2-8 并沒有嚴(yán)格遵循長條高度從左到右依次遞減的要求，而是將“其他原因”的組放置在圖的最右邊起到可視化的效果。

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概率在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的角色

概率在假設(shè)檢驗(yàn)中起到了關(guān)鍵作用。統(tǒng)計(jì)學(xué)家根據(jù)數(shù)據(jù)做決策：根據(jù)低概率排除偶然發(fā)生的可能性。請看以下關(guān)于概率的作用和統(tǒng)計(jì)學(xué)家思維方式的例子。

概率論基礎(chǔ)

事件是一個(gè)過程的結(jié)果或結(jié)果的任意集合。簡單事件是不能進(jìn)一步拆分的結(jié)果或事件。一個(gè)過程的樣本空間由所有可能的簡單事件組成。也就是說，樣本空間由所有不能進(jìn)一步拆分的結(jié)果組成。

計(jì)算事件概率的三種常見方法

概率的數(shù)學(xué)符號

P，表示概率。

A、B、C，表示具體事件。

P(A)，表示“事件 A 發(fā)生的概率”。

以下是三種計(jì)算概率 0 ≤ P(A) ≤ 1 的方法。圖 4-2 展示了概率的可能值以及對可能性的描述。

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1. 相對頻數(shù)法：為了確定某類型車輛在一年內(nèi)發(fā)生車禍的概率，我們可以檢查過去的結(jié)果——一年內(nèi)正在使用的該類型車輛的數(shù)量和該類型車輛的車禍數(shù)量；車禍車輛數(shù)與總車輛數(shù)的比率即為該概率。最近一年，此概率的結(jié)果是 0.0480。

2. 經(jīng)典計(jì)算法：假設(shè)某彩票游戲的規(guī)則是從1~60 個(gè)數(shù)字中選擇 6 個(gè)不同的數(shù)字，且每種組合出現(xiàn)的概率都是相等的。現(xiàn)在需要確定中頭獎的概率。使用 4-4 節(jié)展示的方法可以發(fā)現(xiàn)，中頭獎的概率是 0.0000000200。

3. 主觀估計(jì)法：假設(shè)需要估計(jì)被困在電梯里的概率，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這個(gè)概率相當(dāng)?shù)?。因此就估?jì)它為 0.001。

相對頻數(shù)法

任意給定一個(gè)航班，試求其發(fā)生空難的概率。假設(shè)在最近的一年中，大約有 3900 萬個(gè)商業(yè)航班，其中發(fā)生空難 16 次。

解答：使用相對頻數(shù)法，計(jì)算如下：

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因?yàn)閮煞N結(jié)果（空難與沒有空難）的可能性是不等的，所以不能使用經(jīng)典計(jì)算法。在沒有歷史數(shù)據(jù)的情況下，可以使用主觀估計(jì)法。

用百分比表示概率？

從數(shù)學(xué)上講，概率值 0.25 等于 25%，但是一般使用分?jǐn)?shù)和小數(shù)而非百分比是有原因的。在進(jìn)行概率值計(jì)算時(shí)（如 0.25×0.25），雖然對小數(shù)的處理更為容易，但可能會導(dǎo)致很大的計(jì)算問題。專業(yè)期刊或統(tǒng)計(jì)軟件幾乎都用小數(shù)來表示概率。

使用相對頻數(shù)法所得的概率是一個(gè)近似值，而非確切值。但隨著觀測次數(shù)的增加，相應(yīng)的近似概率趨于接近實(shí)際概率。這個(gè)性質(zhì)通常被稱為大數(shù)定律。

大數(shù)定律：多次重復(fù)某個(gè)過程，事件的相對頻數(shù)概率趨于接近實(shí)際概率。

大數(shù)定律告訴我們，相對頻數(shù)法往往隨著觀測次數(shù)的增加而會得到更好的概率估計(jì)值。該定律反映了一個(gè)符合常識的簡單概念：僅基于少數(shù)幾次試驗(yàn)的概率估計(jì)可能會有很大的偏差，但如果進(jìn)行了大量試驗(yàn)，則估計(jì)往往會更加準(zhǔn)確。

如何理解“可能”？

我們?nèi)绾谓庾x“可能”、“不可能”或“極不可能”這些詞語？美國聯(lián)邦航空管理局（FAA）對這些詞語的解讀如下。

可能：每小時(shí)飛行中發(fā)生該類事件的概率數(shù)量級大于或等于 0.00001。在每架飛機(jī)的使用壽命中，這樣的事件預(yù)計(jì)會發(fā)生幾次。

不可能：在 0.00001 或更小的數(shù)量級上的概率。此類事件預(yù)計(jì)不會在某一機(jī)型的單架飛機(jī)的總使用壽命內(nèi)發(fā)生，但可能在某一機(jī)型的所有飛機(jī)的總使用壽命內(nèi)發(fā)生。

極不可能：在 0.000000001 或更小的數(shù)量級上的概率。這樣的事件是幾乎不可能發(fā)生的，可以等同為沒有發(fā)生過。