神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中 BP 算法的原理與 Python 實(shí)現(xiàn)源碼解析
最近這段時(shí)間系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)了 BP 算法后寫(xiě)下了這篇學(xué)習(xí)筆記，因?yàn)槟芰τ邢?，若有明顯錯(cuò)誤，還請(qǐng)指正。
什么是梯度下降和鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則
假設(shè)我們有一個(gè)函數(shù) J(w)，如下圖所示。
梯度下降示意圖
現(xiàn)在，我們要求當(dāng) w 等于什么的時(shí)候，J(w) 能夠取到最小值。從圖中我們知道最小值在初始位置的左邊，也就意味著如果想要使 J(w) 最小，w的值需要減小。而初始位置的切線的斜率a > 0（也即該位置對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)大于0），w = w – a 就能夠讓 w 的值減小，循環(huán)求導(dǎo)更新w直到 J(w) 取得最小值。如果函數(shù)J(w)包含多個(gè)變量，那么就要分別對(duì)不同變量求偏導(dǎo)來(lái)更新不同變量的值。
所謂的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，就是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則
放個(gè)例題，會(huì)更加明白一點(diǎn)：
鏈?zhǔn)角髮?dǎo)的例子
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由三部分組成，分別是最左邊的輸入層，隱藏層（實(shí)際應(yīng)用中遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止一層）和最右邊的輸出層。層與層之間用線連接在一起，每條連接線都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的權(quán)重值 w，除了輸入層，一般來(lái)說(shuō)每個(gè)神經(jīng)元還有對(duì)應(yīng)的偏置 b。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖
除了輸入層的神經(jīng)元，每個(gè)神經(jīng)元都會(huì)有加權(quán)求和得到的輸入值 z 和將 z 通過(guò) Sigmoid 函數(shù)（也即是激活函數(shù)）非線性轉(zhuǎn)化后的輸出值 a，他們之間的計(jì)算公式如下
神經(jīng)元輸出值 a 的計(jì)算公式
其中，公式里面的變量l和j表示的是第 l 層的第 j 個(gè)神經(jīng)元，ij 則表示從第 i 個(gè)神經(jīng)元到第 j 個(gè)神經(jīng)元之間的連線，w 表示的是權(quán)重，b 表示的是偏置，后面這些符號(hào)的含義大體上與這里描述的相似，所以不會(huì)再說(shuō)明。下面的 Gif 動(dòng)圖可以更加清楚每個(gè)神經(jīng)元輸入輸出值的計(jì)算方式（注意，這里的動(dòng)圖并沒(méi)有加上偏置，但使用中都會(huì)加上）
動(dòng)圖顯示計(jì)算神經(jīng)元輸出值
使用激活函數(shù)的原因是因?yàn)榫€性模型（無(wú)法處理線性不可分的情況）的表達(dá)能力不夠，所以這里通常需要加入 Sigmoid 函數(shù)來(lái)加入非線性因素得到神經(jīng)元的輸出值。
關(guān)于為什么線性函數(shù)模型表達(dá)能力不夠，可以點(diǎn)擊這里查看知乎上面的討論。
sigmoid 函數(shù)
可以看到 Sigmoid 函數(shù)的值域?yàn)?(0,1) ，若對(duì)于多分類(lèi)任務(wù)，輸出層的每個(gè)神經(jīng)元可以表示是該分類(lèi)的概率。當(dāng)然還存在其他的激活函數(shù)，他們的用途和優(yōu)缺點(diǎn)也都各異。
BP 算法執(zhí)行的流程（前向傳遞和逆向更新）
在手工設(shè)定了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)，每層的神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，學(xué)習(xí)率 η（下面會(huì)提到）后，BP 算法會(huì)先隨機(jī)初始化每條連接線權(quán)重和偏置，然后對(duì)于訓(xùn)練集中的每個(gè)輸入 x 和輸出 y，BP 算法都會(huì)先執(zhí)行前向傳輸?shù)玫筋A(yù)測(cè)值，然后根據(jù)真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間的誤差執(zhí)行逆向反饋更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每條連接線的權(quán)重和每層的偏好。在沒(méi)有到達(dá)停止條件的情況下重復(fù)上述過(guò)程。
其中，停止條件可以是下面這三條
● 權(quán)重的更新低于某個(gè)閾值的時(shí)候
● 預(yù)測(cè)的錯(cuò)誤率低于某個(gè)閾值
● 達(dá)到預(yù)設(shè)一定的迭代次數(shù)
譬如說(shuō)，手寫(xiě)數(shù)字識(shí)別中，一張手寫(xiě)數(shù)字1的圖片儲(chǔ)存了28*28 = 784個(gè)像素點(diǎn)，每個(gè)像素點(diǎn)儲(chǔ)存著灰度值(值域?yàn)閇0,255])，那么就意味著有784個(gè)神經(jīng)元作為輸入層，而輸出層有10個(gè)神經(jīng)元代表數(shù)字0~9，每個(gè)神經(jīng)元取值為0~1，代表著這張圖片是這個(gè)數(shù)字的概率。
每輸入一張圖片（也就是實(shí)例），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會(huì)執(zhí)行前向傳輸一層一層的計(jì)算到輸出層神經(jīng)元的值，根據(jù)哪個(gè)輸出神經(jīng)元的值最大來(lái)預(yù)測(cè)輸入圖片所代表的手寫(xiě)數(shù)字。
然后根據(jù)輸出神經(jīng)元的值，計(jì)算出預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差，再逆向反饋更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每條連接線的權(quán)重和每個(gè)神經(jīng)元的偏好。
前向傳輸（Feed-Forward）
從輸入層=>隱藏層=>輸出層，一層一層的計(jì)算所有神經(jīng)元輸出值的過(guò)程。
逆向反饋（Back Propagation）
因?yàn)檩敵鰧拥闹蹬c真實(shí)的值會(huì)存在誤差，我們可以用均方誤差來(lái)衡量預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的誤差。
均方誤差
逆向反饋的目標(biāo)就是讓E函數(shù)的值盡可能的小，而每個(gè)神經(jīng)元的輸出值是由該點(diǎn)的連接線對(duì)應(yīng)的權(quán)重值和該層對(duì)應(yīng)的偏好所決定的，因此，要讓誤差函數(shù)達(dá)到最小，我們就要調(diào)整w和b值， 使得誤差函數(shù)的值最小。
權(quán)重和偏置的更新公式
對(duì)目標(biāo)函數(shù) E 求 w 和 b 的偏導(dǎo)可以得到 w 和 b 的更新量，下面拿求 w 偏導(dǎo)來(lái)做推導(dǎo)。
其中 η 為學(xué)習(xí)率，取值通常為 0.1 ~ 0.3,可以理解為每次梯度所邁的步伐。注意到 w_hj 的值先影響到第 j 個(gè)輸出層神經(jīng)元的輸入值a，再影響到輸出值y，根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則有：
使用鏈?zhǔn)椒▌t展開(kāi)對(duì)權(quán)重求偏導(dǎo)
根據(jù)神經(jīng)元輸出值 a 的定義有：
對(duì)函數(shù) z 求 w 的偏導(dǎo)
Sigmoid 求導(dǎo)數(shù)的式子如下，從式子中可以發(fā)現(xiàn)其在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)也是非常的方便：
Sigmoid 函數(shù)求導(dǎo)
所以
則權(quán)重 w 的更新量為：
類(lèi)似可得 b 的更新量為：
但這兩個(gè)公式只能夠更新輸出層與前一層連接線的權(quán)重和輸出層的偏置，原因是因?yàn)? δ 值依賴(lài)了真實(shí)值y這個(gè)變量，但是我們只知道輸出層的真實(shí)值而不知道每層隱藏層的真實(shí)值，導(dǎo)致無(wú)法計(jì)算每層隱藏層的 δ 值，所以我們希望能夠利用 l+1 層的 δ 值來(lái)計(jì)算 l 層的 δ 值，而恰恰通過(guò)一些列數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換后可以做到，這也就是逆向反饋名字的由來(lái)，公式如下:
從式子中我們可以看到，我們只需要知道下一層的權(quán)重和神經(jīng)元輸出層的值就可以計(jì)算出上一層的 δ 值，我們只要通過(guò)不斷的利用上面這個(gè)式子就可以更新隱藏層的全部權(quán)重和偏置了。
在推導(dǎo)之前請(qǐng)先觀察下面這張圖：
l 和 l+1 層的神經(jīng)元
首先我們看到 l 層的第 i 個(gè)神經(jīng)元與 l+1 層的所有神經(jīng)元都有連接，那么我們可以將 δ 展開(kāi)成如下的式子：
也即是說(shuō)我們可以將 E 看做是 l+1 層所有神經(jīng)元輸入值的 z 函數(shù)，而上面式子的 n 表示的是 l+1 層神經(jīng)元的數(shù)量，再進(jìn)行化簡(jiǎn)后就可以得到上面所說(shuō)的式子。
在這里的推導(dǎo)過(guò)程只解釋了關(guān)鍵的部分，如果要查看更加詳細(xì)的推導(dǎo)內(nèi)容，可以點(diǎn)擊此處下載我在學(xué)習(xí)過(guò)程中參考的一篇 pdf 文檔，里面的推導(dǎo)過(guò)程非常詳細(xì)。另外也參考了周志華所寫(xiě)的機(jī)器學(xué)習(xí)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)部分的內(nèi)容和 neural networks and deep learning 的內(nèi)容。
Python 源碼解析
源碼來(lái)自于 Michael Nielsen 大神的深度學(xué)習(xí)在線教程，但他的內(nèi)容都是英文的，我結(jié)合了自己的理解和上面的理論知識(shí)對(duì)源碼進(jìn)行了注釋。>>點(diǎn)擊此處查看整理的代碼和數(shù)字識(shí)別實(shí)例<<
使用 Python 實(shí)現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代碼行數(shù)并不多，僅包含一個(gè) Network 類(lèi)，首先來(lái)看看該類(lèi)的構(gòu)造方法。
- def __init__(self, sizes):
- """
- :param sizes: list類(lèi)型，儲(chǔ)存每層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元數(shù)目
- 譬如說(shuō)：sizes = [2, 3, 2] 表示輸入層有兩個(gè)神經(jīng)元、
- 隱藏層有3個(gè)神經(jīng)元以及輸出層有2個(gè)神經(jīng)元
- """
- # 有幾層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
- self.num_layers = len(sizes)
- self.sizes = sizes
- # 除去輸入層，隨機(jī)產(chǎn)生每層中 y 個(gè)神經(jīng)元的 biase 值（0 - 1）
- self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
- # 隨機(jī)產(chǎn)生每條連接線的 weight 值（0 - 1）
- self.weights = [np.random.randn(y, x)
- for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]
向前傳輸（FreedForward）的代碼。
- def feedforward(self, a):
- """
- 前向傳輸計(jì)算每個(gè)神經(jīng)元的值
- :param a: 輸入值
- :return: 計(jì)算后每個(gè)神經(jīng)元的值
- """
- for b, w in zip(self.biases, self.weights):
- # 加權(quán)求和以及加上 biase
- a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
- return a
源碼里使用的是隨機(jī)梯度下降（Stochastic Gradient Descent，簡(jiǎn)稱(chēng) SGD），原理與梯度下降相似，不同的是隨機(jī)梯度下降算法每次迭代只取數(shù)據(jù)集中一部分的樣本來(lái)更新 w 和 b 的值，速度比梯度下降快，但是，它不一定會(huì)收斂到局部極小值，可能會(huì)在局部極小值附近徘徊。
- def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,
- test_data=None):
- """
- 隨機(jī)梯度下降
- :param training_data: 輸入的訓(xùn)練集
- :param epochs: 迭代次數(shù)
- :param mini_batch_size: 小樣本數(shù)量
- :param eta: 學(xué)習(xí)率
- :param test_data: 測(cè)試數(shù)據(jù)集
- """
- if test_data: n_test = len(test_data)
- n = len(training_data)
- for j in xrange(epochs):
- # 攪亂訓(xùn)練集，讓其排序順序發(fā)生變化
- random.shuffle(training_data)
- # 按照小樣本數(shù)量劃分訓(xùn)練集
- mini_batches = [
- training_data[k:k+mini_batch_size]
- for k in xrange(0, n, mini_batch_size)]
- for mini_batch in mini_batches:
- # 根據(jù)每個(gè)小樣本來(lái)更新 w 和 b，代碼在下一段
- self.update_mini_batch(mini_batch, eta)
- # 輸出測(cè)試每輪結(jié)束后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確度
- if test_data:
- print "Epoch {0}: {1} / {2}".format(
- j, self.evaluate(test_data), n_test)
- else:
- print "Epoch {0} complete".format(j)
根據(jù) backprop 方法得到的偏導(dǎo)數(shù)更新 w 和 b 的值。
- def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
- """
- 更新 w 和 b 的值
- :param mini_batch: 一部分的樣本
- :param eta: 學(xué)習(xí)率
- """
- # 根據(jù) biases 和 weights 的行列數(shù)創(chuàng)建對(duì)應(yīng)的全部元素值為 0 的空矩陣
- nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
- nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
- for x, y in mini_batch:
- # 根據(jù)樣本中的每一個(gè)輸入 x 的其輸出 y，計(jì)算 w 和 b 的偏導(dǎo)數(shù)
- delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
- # 累加儲(chǔ)存偏導(dǎo)值 delta_nabla_b 和 delta_nabla_w
- nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
- nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
- # 更新根據(jù)累加的偏導(dǎo)值更新 w 和 b，這里因?yàn)橛昧诵颖荆?/span>
- # 所以 eta 要除于小樣本的長(zhǎng)度
- self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
- for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
- self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
- for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]
下面這塊代碼是源碼最核心的部分，也即 BP 算法的實(shí)現(xiàn)，包含了前向傳輸和逆向反饋，前向傳輸在 Network 里有單獨(dú)一個(gè)方法（上面提到的 feedforward 方法），那個(gè)方法是用于驗(yàn)證訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的精確度的，在下面有提到該方法。
- def backprop(self, x, y):
- """
- :param x:
- :param y:
- :return:
- """
- nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
- nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
- # 前向傳輸
- activation = x
- # 儲(chǔ)存每層的神經(jīng)元的值的矩陣，下面循環(huán)會(huì) append 每層的神經(jīng)元的值
- activations = [x]
- # 儲(chǔ)存每個(gè)未經(jīng)過(guò) sigmoid 計(jì)算的神經(jīng)元的值
- zs = []
- for b, w in zip(self.biases, self.weights):
- z = np.dot(w, activation)+b
- zs.append(z)
- activation = sigmoid(z)
- activations.append(activation)
- # 求 δ 的值
- delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
- sigmoid_prime(zs[-1])
- nabla_b[-1] = delta
- # 乘于前一層的輸出值
- nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
- for l in xrange(2, self.num_layers):
- # 從倒數(shù)第 **l** 層開(kāi)始更新，**-l** 是 python 中特有的語(yǔ)法表示從倒數(shù)第 l 層開(kāi)始計(jì)算
- # 下面這里利用 **l+1** 層的 δ 值來(lái)計(jì)算 **l** 的 δ 值
- z = zs[-l]
- sp = sigmoid_prime(z)
- delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
- nabla_b[-l] = delta
- nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
- return (nabla_b, nabla_w)
接下來(lái)則是 evaluate 的實(shí)現(xiàn)，調(diào)用 feedforward 方法計(jì)算訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層神經(jīng)元值（也即預(yù)測(cè)值），然后比對(duì)正確值和預(yù)測(cè)值得到精確率。
- def evaluate(self, test_data):
- # 獲得預(yù)測(cè)結(jié)果
- test_results = [(np.argmax(self.feedforward(x)), y)
- for (x, y) in test_data]
- # 返回正確識(shí)別的個(gè)數(shù)
- return sum(int(x == y) for (x, y) in test_results)
最后，我們可以利用這個(gè)源碼來(lái)訓(xùn)練一個(gè)手寫(xiě)數(shù)字識(shí)別的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并輸出評(píng)估的結(jié)果，代碼如下：
- import mnist_loader
- import network
- training_data, validation_data, test_data = mnist_loader.load_data_wrapper()
- net = network.Network([784, 30, 10])
- net.SGD(training_data, 30, 10, 3.0, test_data = test_data)
- # 輸出結(jié)果
- # Epoch 0: 9038 / 10000
- # Epoch 1: 9178 / 10000
- # Epoch 2: 9231 / 10000
- # ...
- # Epoch 27: 9483 / 10000
- # Epoch 28: 9485 / 10000
- # Epoch 29: 9477 / 10000
可以看到，在經(jīng)過(guò) 30 輪的迭代后，識(shí)別手寫(xiě)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的精確度在 95% 左右，當(dāng)然，設(shè)置不同的迭代次數(shù)，學(xué)習(xí)率以取樣數(shù)對(duì)精度都會(huì)有影響，如何調(diào)參也是一門(mén)技術(shù)活，這個(gè)坑就后期再填吧。
總結(jié)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)：
網(wǎng)絡(luò)實(shí)質(zhì)上實(shí)現(xiàn)了一個(gè)從輸入到輸出的映射功能，而數(shù)學(xué)理論已證明它具有實(shí)現(xiàn)任何復(fù)雜非線性映射的功能。這使得它特別適合于求解內(nèi)部機(jī)制復(fù)雜的問(wèn)題。
網(wǎng)絡(luò)能通過(guò)學(xué)習(xí)帶正確答案的實(shí)例集自動(dòng)提取“合理的”求解規(guī)則，即具有自學(xué)習(xí)能力。
網(wǎng)絡(luò)具有一定的推廣、概括能力。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺點(diǎn)：
對(duì)初始權(quán)重非常敏感，極易收斂于局部極小。
容易 Over Fitting 和 Over Training。
如何選擇隱藏層數(shù)和神經(jīng)元個(gè)數(shù)沒(méi)有一個(gè)科學(xué)的指導(dǎo)流程，有時(shí)候感覺(jué)就是靠猜。
應(yīng)用領(lǐng)域：
常見(jiàn)的有圖像分類(lèi)，自動(dòng)駕駛，自然語(yǔ)言處理等。
TODO
但其實(shí)想要訓(xùn)練好一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還面臨著很多的坑（譬如下面四條）：
1. 如何選擇超參數(shù)的值，譬如說(shuō)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)和每層的神經(jīng)元數(shù)量以及學(xué)習(xí)率；
2. 既然對(duì)初始化權(quán)重敏感，那該如何避免和修正；
3. Sigmoid 激活函數(shù)在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中會(huì)面臨梯度消失問(wèn)題該如何解決；
4. 避免 Overfitting 的 L1 和 L2正則化是什么。
參考
[1] 周志華 機(jī)器學(xué)習(xí)
[2] 斯坦福大學(xué)機(jī)器學(xué)習(xí)在線課程
