了解隨機游走模型和移動平均過程(Python)

作者：不靠譜的貓 2020-05-20 08:33:39

開發后端

在本文中，我將介紹兩個能夠對時間序列進行建模的模型：隨機游走和移動平均過程。

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隨機游走模型

隨機游走模型由以下公式表示：

換句話說，當前時刻t的位置是前一時刻(t-1)的位置與噪聲(用z表示)之和。這里我們假設噪聲是正態分布的(均值為0，方差為1)。

我們從0開始隨機游走，也就是說，任何時間點都是該時間之前所有噪聲的和。數學上表示為：

讓我們在Python中模擬隨機游走。

首先，我們導入所需的Python庫：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf 
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess 
from statsmodels.tsa.stattools import acf 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
 
%matplotlib inline

然后，我們生成一個包含1000個數據點的數據集。起點是0，我們將隨機噪聲添加到上一個點以生成下一個點：

steps = np.random.standard_normal(1000) 
steps[0]=0 
random_walk = np.cumsum(steps)

繪制數據集的Python代碼如下：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(random_walk) 
plt.title("Simulated Random Walk") 
plt.show()

模擬隨機游走

你的隨機行走可能與上面的圖不同，因為噪聲是隨機的。

現在，讓我們看看我們的隨機游走的自相關圖(或相關圖)：

random_walk_acf_coef = acf(random_walk) 
plot_acf(random_walk, lags=20);

了解隨機游走模型和移動平均過程(Python)

隨機游走的相關圖

不管你的隨機游走看起來像什么，你都應該得到一個非常相似的相關圖。

現在，一切都指向數據集中的趨勢。我們可以改變這種趨勢嗎?答案是肯定的。

讓我們在Python中進行驗證。

random_walk_diff = np.diff(random_walk, n=1)

然后我們繪制結果：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(random_walk_diff) 
plt.title('Noise') 
plt.show()

如您所見，上面的圖沒有趨勢，也沒有季節性，是一個完全隨機的過程。

查看相關圖的python代碼如下：

plot_acf（random_walk_diff，lags = 20）;

我們看到這是一個純隨機過程的相關圖，其中自相關系數在滯后1處下降。

移動平均過程

我們先來直觀了解一下什么是移動平均過程。

假設你把一塊石頭扔進一個池塘里，你要追蹤水面上一滴水的位置。當石頭撞擊水面時，會形成波紋，所以我們要跟蹤的水滴會上下移動。讓我們假設波紋只持續兩秒鐘，在這兩秒鐘之后，水面就會完全變平。

我們的水滴位置可以表示為：

上面的方程表示，X在t時刻的位置取決于t時刻的噪聲，加上t-1時刻的噪聲(有一定的權重THETA)，加上t-2時刻的噪聲(有一定的權值)。

這被稱為二階移動平均過程，可以表示為MA(2)。

通用表示法是MA(q)。在上面的示例中，q = 2。

讓我們在Python中模擬此過程。具體來說，我們將模擬以下過程：

這是一個二階移動平均過程，我們指定了權重。您可以隨意更改權重，并對參數進行試驗。

我們從指定滯后開始，我們用的是2。

ar2 = np.array（[2]）

然后，我們指定權重，權重為[1、0.9、0.3]。

ma2 = np.array([1, 0.9, 0.3])

最后，我們模擬該過程并生成1000個數據點：

MA2_process = ArmaProcess(ar2, ma2).generate_sample(nsample=1000)

現在，讓我們可視化該過程及其相關圖：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(MA2_process) 
plt.title('Moving Average Process of Order 2') 
plt.show() 
 
plot_acf(MA2_process, lags=20);