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 前言

這次梳理的內容是數據結構專題中的「樹」，如果你看到樹這類數據結構時，滿腦子頭疼，覺得它很難理解，如果是這樣子的話，那么本文可能對你或許有點幫助。

俗話說得好，要想掌握理解的話，我們得先了解它的概念，性質等內容。

圍繞以下幾個點來展開介紹樹👇

樹的基本概念

• 基本術語
• 樹的種類
• 二叉樹概念
• 二叉樹的遍歷
• 二叉樹題目匯總

腦圖👇

 

 

 

 

樹的基本概念

樹是用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。或者你可以把它認為是一種「抽象數據結構」或是實現這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。

那么根據維基百科給出的定義，我們似乎可以這么理解：

它是由n(n>0)個有限節點組成一個具有層次關系的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

• 每個節點都只有有限個子節點或無子節點;
• 沒有父節點的節點稱為根節點;
• 每一個非根節點有且只有一個父節點;
• 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹;
• 樹里面沒有環路(cycle)

這個時候，我們就需要拿出一張圖來看👇

 

 

 

 

從圖中來看，以上的五個特點都可以很好的總結出來

• A節點作為根節點，沒有父節點，所以是根節點。
• 除根節點(A)外，其他的節點都有父節點，并且每個節點只有有限個子節點或無子節點。
• 從某個節點開始，可以分為很多個子樹，舉個例子，從B節點開始，即是如此。

既然對樹有一定認識后，我們需要了解它的一些術語。

基本術語

 

樹的基本術語

 

 

為了更加規范的總結，這里給出的描述來自于維基百科：

• 「節點的度」：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度;
• 「樹的度」：一棵樹中，最大的節點度稱為樹的度;
• 「葉節點」或「終端節點」：度為零的節點;
• 「非終端節點」或「分支節點」：度不為零的節點;
• 「父親節點」或「父節點」：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點;
• 「孩子節點」或「子節點」：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點;
• 「兄弟節點」：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點;
• 節點的「層次」：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推;
• 「深度」：對于任意節點n,n的深度為從根到n的唯一路徑長，根的深度為0;
• 「高度」：對于任意節點n,n的高度為從n到一片樹葉的最長路徑長，所有樹葉的高度為0;
• 「堂兄弟節點」：父節點在同一層的節點互為堂兄弟;
• 「節點的祖先」：從根到該節點所經分支上的所有節點;
• 「子孫」：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫;
• 「森林」：由m(m>=0)棵互不相交的樹的集合稱為森林。

可以結合上述的圖來理解這些概念，通過兩者的結合，你一定會對樹有進一步的了解的。

有以上基本概念，以及一些專業術語的掌握，接下來我們需要對樹進行一個分類，看看樹有哪些種類。

樹的種類

理解了樹的概念以及基本術語，接下來，我們需要拓展的內容就是樹的種類。

我們可以根據維基百科的依據來作為分類的標準👇

• 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關系，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹;
• 有序樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關系，這種樹稱為有序樹;
• 完全二叉樹：對于一顆二叉樹，假設其深度為d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹;
• 平衡二叉樹(AVL樹)：當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大于1的二叉樹;
• 排序二叉樹(英語：Binary Search Tree))：也稱二叉搜索樹、有序二叉樹;
• 滿二叉樹：所有葉節點都在最底層的完全二叉樹;
• 二叉樹：每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹;
• 霍夫曼樹：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹;
• B樹：一種對讀寫操作進行優化的自平衡的二叉查找樹，能夠保持數據有序，擁有多于兩個子樹。

既然樹的分類有這么多的話，那么我們是不是都需要一一掌握呢，我個人覺得，掌握二叉樹這種結構就足夠了，它也是樹最簡單、應用最廣泛的種類。

那么接下來，我們就來介紹一下二叉樹吧。

二叉樹的概念

二叉樹是一種典型的樹樹狀結構。如它名字所描述的那樣，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構，通常子樹被稱作“左子樹”和“右子樹”。

 

 

二叉樹

 

 

從這個圖片的內容來看，應該很清楚的展示了二叉樹的結構。

至于二叉樹的性質的話，可以參考下圖，作為補充知識吧，個人覺得這個不是重點。

 

 

二叉樹的性質

 

 

重點的話，我們需要掌握的應該是它的遍歷方式。

二叉樹的遍歷

我們知道對于二叉樹的遍歷而言，有常見得三種遍歷方式，分別是以下三種：

• 前序遍歷
• 中序遍歷
• 后續遍歷

對于任何一種遍歷方式而言，我們不僅需要掌握它的非遞歸版本，同時對于它的遞歸版本來說，更是考察一個人的算法基本功，那么接下來，我們來看看吧。

前序遍歷

點擊這里，練習二叉樹的前序遍歷

給你二叉樹的根節點 root ，返回它節點值的 「前序」 遍歷。

假設我們mock一下假數據👇

輸入: [1,null,2,3] 
   1 
    \ 
     2 
    / 
   3 
輸出: [1,3,2] 

那么根據我們對前序遍歷的理解，我們可以寫出解題偽代碼👇

//   TianTianUp 
//   * function TreeNode(val, left, right) { 
//   *     this.val = (val===undefined ? 0 : val) 
//   *     this.left = (left===undefined ? null : left) 
//   *     this.right = (right===undefined ? null : right) 
//   * } 
let inorderTraversal  = (root, arr = []) => { 
  if(root) { 
    inorderTraversal(root.left, arr) 
    arr.push(root.value) 
    inorderTraversal(root.right, arr) 
  } 
  return arr 
} 

非遞歸版本👇

對于非遞歸的話，我們需要借助一個數據結構去存儲它的節點，需要使用的就是棧，它的思路可以借鑒👇

• 根節點為目標節點，開始向它子節點遍歷
• 1.訪問目標節點
• 2.左孩子入棧 -> 直至左孩子為空的節點
• 3.節點出棧，以右孩子為目標節點，再依次執行1、2、3

let preorderTraversal = (root, arr = []) => { 
  const stack = [], res = [] 
  let current = root 
  while(current || stack.length > 0) { 
    while (current) { 
      res.push(current.val) 
      stack.push(current) 
      current = current.left 
    } 
    current = stack.pop() 
    current = current.right 
  } 
  return res 
} 

中序遍歷

給定一個二叉樹，返回它的中序 遍歷。

示例:

• 輸入: [1,null,2,3] 1
• 2 / 3
• 輸出: [1,3,2]

進階: 遞歸算法很簡單，你可以通過迭代算法完成嗎?

遞歸版本👇

const inorderTraversal  = (root, arr = []) => { 
  if(root) { 
    inorderTraversal(root.left, arr) 
    arr.push(root.val) 
    inorderTraversal(root.right, arr) 
  } 
  return arr 
} 

非遞歸版本，這里就不解釋了，跟前序遍歷一樣，思路一樣，用棧維護節點信息。

const inorderTraversal = (root, arr = []) => { 
  const stack = [], res = [] 
  let current = root 
  while(current || stack.length > 0) { 
    while (current) { 
      stack.push(current) 
      current = current.left 
    } 
    current = stack.pop() 
    res.push(current.val) 
    current = current.right 
  } 
  return res 
} 

后續遍歷

給定一個二叉樹，返回它的 后序 遍歷。

示例:

• 輸入: [1,null,2,3]
• 1
• 2 / 3
• 輸出: [3,2,1]

進階: 遞歸算法很簡單，你可以通過迭代算法完成嗎?

來源：力扣(LeetCode) 鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-postorder-traversal 著作權歸領扣網絡所有。商業轉載請聯系官方授權，非商業轉載請注明出處。

遞歸版本👇

const postorderTraversal  = (root, arr = []) => { 
  if(root) { 
    postorderTraversal(root.left, arr) 
    postorderTraversal(root.right, arr) 
    arr.push(root.val) 
  } 
  return arr 
} 

非遞歸版本👇

其實，嗯，做完前面兩個后，會發現都是有套路滴~

const postorderTraversal = (root, arr = []) => { 
  const stack = [], res = [] 
  let current = root, last = null  // last指針記錄上一個節點 
  while(current || stack.length > 0) { 
    while (current) { 
      stack.push(current) 
      current = current.left 
    } 
    current = stack[stack.length - 1] 
    if (!current.right || current.right == last) { 
      current = stack.pop() 
      res.push(current.val) 
      last = current 
      current = null              // 繼續彈棧 
    } else { 
      current = current.right 
    } 
  } 
  return res 
} 

二叉樹的層次遍歷 ⭐⭐

鏈接：二叉樹的層序遍歷

給你一個二叉樹，請你返回其按 「層序遍歷」 得到的節點值。(即逐層地，從左到右訪問所有節點)。

示例：二叉樹：[3,9,20,null,null,15,7],

• 3
• /
• 9 20 /
• 15 7

返回其層次遍歷結果：

• [ [3], [9,20], [15,7] ]

來源：力扣(LeetCode) 鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal 著作權歸領扣網絡所有。商業轉載請聯系官方授權，非商業轉載請注明出處。

遞歸版本👇

const levelOrder = function(root) { 
  if(!root) return [] 
  let res = [] 
  dfs(root, 0, res) 
  return res 
} 
 
function dfs(root, step, res){ 
  if(root){ 
      if(!res[step]) res[step] = [] 
      res[step].push(root.val) 
      dfs(root.left, step + 1, res) 
      dfs(root.right, step + 1, res) 
    } 
} 

非遞歸版本👇

這里借助的就是隊列這個數據結構，先進先出的機制。

const levelOrder = (root) => { 
  let queue = [], res = [] 
  if (root) queue.push(root); 
  while (queue.length) { 
      let next_queue = [], 
          now_res = [] 
      while (queue.length) { 
          root = queue.shift() 
          now_res.push(root.val) 
          root.left && next_queue.push(root.left) 
          root.right && next_queue.push(root.right) 
      } 
      queue = next_queue 
      res.push(now_res) 
  } 
  return res 
} 

題目匯總

還是那句話，題目做不完的，剩下的就靠刷leetcode了，我還準備了一些常見的二叉樹題集，題目的質量還是不錯的👇

• 二叉樹的最小深度⭐
• 二叉樹的最大深度⭐
• 相同的樹⭐
• 二叉搜索樹的范圍和⭐
• 對稱二叉樹⭐
• 將有序數組轉換為二叉搜索樹⭐
• 二叉樹的層次遍歷 II⭐⭐
• 二叉樹的最近公共祖先⭐⭐
• 驗證二叉搜索樹⭐⭐
• 路徑總和 III⭐⭐
• 存在重復元素 III⭐⭐
• 計算右側小于當前元素的個數⭐⭐⭐