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本文轉載自微信公眾號「python與大數據分析」，作者一只小小鳥鳥。轉載本文請聯系python與大數據分析公眾號。

三角函數在python和numpy中實現的不夠全面，主要包括cos, cosh, sin sinh, tan, tanh三角函數和arccos, arccosh, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh反三角函數，cot,sec,csc,arccot,arcsec,arccsc均為提供，不過可以通過其他函數進行組合或變形得以實現。

三角函數是基本初等函數之一，是以角度(數學上最常用弧度制，下同)為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是復數值。

反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x這些函數的統稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切 ，正割，余割為x的角

#!/usr/bin/env python 
# -*- coding: UTF-8 -*- 
#                     _ooOoo_ 
#                   o8888888o 
#                    88" . "88 
#                 ( | -  _  - | ) 
#                     O\ = /O 
#                 ____/`---'\____ 
#                  .' \\| |// `. 
#                 / \\|||:|||// \ 
#               / _|||||-:- |||||- \ 
#                | | \\\ - /// | | 
#              | \_| ''\---/'' | _/ | 
#               \ .-\__ `-` ___/-. / 
#            ___`. .' /--.--\ `. . __ 
#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"". 
#       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | | 
#          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / / 
#      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'== 
#                     `=---=' 
''' 
@Project ：pythonalgorithms  
@File ：trigonometric.py 
@Author ：不勝人生一場醉@Date ：2021/7/26 23:28  
''' 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import math 
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist  # 導入坐標軸加工模塊 
# 三角函數是基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。 
# 也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用， 
# 也是研究周期性現象的基礎數學工具。 
# 在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是復數值。 
# 正弦函數 ：y =sin x 
# 正弦（sine），數學術語，在直角三角形中，任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA（由英語sine一詞簡寫得來），即sinA=∠A的對邊/斜邊。 
# 余弦函數 ：y =cos x 
# 余弦（余弦函數）。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如概述圖所示），∠A的余弦是它的鄰邊比三角形的斜邊，即cosA=b/c，也可寫為cosa=AC/AB。余弦函數：f(x)=cosx（x∈R） 
# 平方和關系 
# （sinα）^2 +（cosα）^2=1 
# 積的關系 
# sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ） 
# cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα） 
# tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα) 
# 倒數關系 
# tanα × cotα = 1 
# sinα × cscα = 1 
# cosα × secα = 1 
# 商的關系 
# sinα / cosα = tanα = secα / cscα 
# 和角公式 
# sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ 
# sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ 
# cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα 
# tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ ) 
# 倍角半角公式 
# sin ( 2α ) = 2sinα · cosα [1] 
# sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α ) 
# sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2) 
# 級數展開 
# sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ ) 
# 導數 
# （ sinx ） ' = cosx 
# （ cosx ) ' = ﹣ sinx 
 
if __name__ == "__main__": 
   sincosfunction() 
   tanctnfunction() 
   seccscfunction() 
   arcsincosfunction() 
   arccscfunction() 

def sincosfunction(): 
   plt.figure(figsize=(10, 5)) 
   ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當前軸 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負號 
   x = np.linspace(-np.pi*2, np.pi*2, 200) 
 
   y = np.sin(x) 
   label = 'np.sin(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.cos(x) 
   label = 'np.cos(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.power(np.sin(x),2) 
   label = 'np.sin(x)^2' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.power(np.cos(x),2) 
   label = 'np.cos(x)^2' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.power(np.cos(x), 2)+np.power(np.sin(x),2) 
   label = 'np.sin(x)^2+np.cos(x)^2' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
   # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
   # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("sin&cos三角指數") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

# 正切函數 ：y =tan x 
# 余切函數 ：y =cot x 
def tanctnfunction(): 
   #np.tan() 
   plt.figure(figsize=(10, 8)) 
   plt.subplot(1, 2, 1) 
   ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當前軸 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負號 
   x = np.append(np.linspace(-np.pi*3/2+0.01, -np.pi/2-0.01, 120),np.linspace(-np.pi/2+0.01, np.pi/2-0.01, 120)) 
   x = np.append(x,np.linspace(np.pi/2+0.01, np.pi*3/2-0.01, 120)) 
   y = np.tan(x) 
   label = 'np.tan(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
 
   # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
   # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("tan三角指數") 
   plt.legend(loc='upper right') 
 
 
   plt.subplot(1, 2, 2) 
   ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當前軸 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負號 
   x = np.append(np.linspace(-np.pi+ 0.01, - 0.01, 120), 
              np.linspace( 0.01, np.pi - 0.01, 120)) 
   y = 1/np.tan(x) 
   label = 'np.ctn(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
   # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
   ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   #ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("ctan三角指數") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

# 正割函數 ：y =sec x = 1/cos(x) 
# 余割函數 ：y =csc x = 1/sin(x) 
def seccscfunction(): 
   plt.figure(figsize=(10, 5)) 
   ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當前軸 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負號 
   #x = np.linspace(-np.pi*2, np.pi*2, 200) 
   x = np.append(np.linspace(-np.pi * 3 / 2 + 0.01, -np.pi - 0.01, 120), 
              np.linspace(-np.pi + 0.01, -np.pi / 2 - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(-np.pi / 2 + 0.01,  - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(0.01, np.pi  / 2 - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(np.pi / 2 + 0.01, np.pi  - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(np.pi + 0.01, np.pi * 3 / 2 - 0.01, 120)) 
   y = 1/np.sin(x) 
   label = 'np.csc(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = 1/np.cos(x) 
   label = 'np.sec(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
   # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
   # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("csc&sec三角指數") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

ef arcsincosfunction(): 
   plt.figure(figsize=(5, 10)) 
   ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當前軸 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負號 
   x = np.linspace(-1, 1, 200) 
 
   y = np.arcsin(x) 
   label = 'np.arcsin(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.arccos(x) 
   label = 'np.arccos(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
   # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
   # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("arcsin&arccos三角指數") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

# 反正切函數 
#  正切函數y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函數，叫做反正切函數。記作arctanx，表示一個正切值為x的角，該角的范圍在（-π/2，π/2）區間內。 
#  定義域R，值域（-π/2，π/2）。 
#   numpy.arctan() 
# 反余切函數 
#  余切函數y=cot x在（0，π）上的反函數，叫做反余切函數。記作arccotx，表示一個余切值為x的角，該角的范圍在（0，π）區間內。 
#  定義域R，值域（0，π）。 
# 反正割函數 
#   正割函數 ：y =sec x = 1/cos(x) 
#  正割函數y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函數，叫做反正割函數。記作arcsecx，表示一個正割值為x的角，該角的范圍在[0，π/2）U（π/2，π]區間內。 
#  定義域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。 
# 反余割函數 
#   余割函數 ：y =csc x = 1/sin(x) 
#  余割函數y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函數，叫做反余割函數。記作arccscx，表示一個余割值為x的角，該角的范圍在[-π/2，0）U（0，π/2]區間內。 
#  定義域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。 
def arccscfunction(): 
   plt.figure(figsize=(10, 5)) 
   ax = plt.gca()  # 通過gca:get current axis得到當前軸 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 繪圖中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 繪圖負號 
   x = np.append(np.linspace(0.01, np.pi / 2 - 0.01, 120), 
              np.linspace(np.pi/2+0.01, np.pi  - 0.01, 120)) 
   y = 1/np.cos(x) 
   # 正割函數 sec(x)=1/cos(x) 
   # 反正割函數 顛倒x,y值即可 
   label = 'np.arcsecx(x)' 
   plt.plot(y, x, label=label) 
 
   # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置 
   # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("arcsin&arccos三角指數") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show()