首先要說，聚類屬于機器學習的無監督學習，而且也分很多種方法，比如大家熟知的有K-means。層次聚類也是聚類中的一種，也很常用。下面我先簡單回顧一下K-means的基本原理，然后慢慢引出層次聚類的定義和分層步驟，這樣更有助于大家理解。

層次聚類和K-means有什么不同？

K-means 工作原理可以簡要概述為：

• 決定簇數（k）
• 從數據中隨機選取 k 個點作為質心
• 將所有點分配到最近的聚類質心
• 計算新形成的簇的質心
• 重復步驟 3 和 4

這是一個迭代過程，直到新形成的簇的質心不變，或者達到最大迭代次數。

但是 K-means 是存在一些缺點的，我們必須在算法開始前就決定簇數 K 的數量，但實際我們并不知道應該有多少個簇，所以一般都是根據自己的理解先設定一個值，這就可能導致我們的理解和實際情況存在一些偏差。

層次聚類完全不同，它不需要我們開始的時候指定簇數，而是先完整的形成整個層次聚類后，通過決定合適的距離，自動就可以找到對應的簇數和聚類。

什么是層次聚類？

下面我們由淺及深的介紹什么是層次聚類，先來一個簡單的例子。

假設我們有以下幾點，我們想將它們分組：

我們可以將這些點中的每一個分配給一個單獨的簇，就是4個簇（4種顏色）：

然后基于這些簇的相似性（距離），將最相似的（距離最近的）點組合在一起并重復這個過程，直到只剩下一個集群：

上面本質上就是在構建一個層次結構。先了解到這里，后面我們詳細介紹它的分層步驟。

層次聚類的類型

主要有兩種類型的層次聚類：

• 凝聚層次聚類
• 分裂層次聚類

凝聚層次聚類

先讓所有點分別成為一個單獨的簇，然后通過相似性不斷組合，直到最后只有一個簇為止，這就是凝聚層次聚類的過程，和我們上面剛剛說的一致。

分裂層次聚類

分裂層次聚類正好反過來，它是從單個集群開始逐步分裂，直到無法分裂，即每個點都是一個簇。

所以無論是 10、100、1000 個數據點都不重要，這些點在開始的時候都屬于同一個簇：

現在，在每次迭代中拆分簇中相隔最遠的兩點，并重復這個過程，直到每個簇只包含一個點：

上面的過程就是分裂層次聚類。

執行層次聚類的步驟

上面已經說了層次聚類的大概過程，那關鍵的來了，如何確定點和點的相似性呢？

這是聚類中最重要的問題之一了，一般計算相似度的方法是：計算這些簇的質心之間的距離。距離最小的點稱為相似點，我們可以合并它們，也可以將其稱為基于距離的算法。

另外在層次聚類中，還有一個稱為鄰近矩陣的概念，它存儲了每個點之間的距離。下面我們通過一個例子來理解如何計算相似度、鄰近矩陣、以及層次聚類的具體步驟。

案例介紹

假設一位老師想要將學生分成不同的組。現在有每個學生在作業中的分數，想根據這些分數將他們分成幾組。關于擁有多少組，這里沒有固定的目標。由于老師不知道應該將哪種類型的學生分配到哪個組，因此不能作為監督學習問題來解決。下面，我們將嘗試應用層次聚類將學生分成不同的組。

下面是個5名學生的成績：

創建鄰近矩陣

首先，我們要創建一個鄰近矩陣，它儲存了每個點兩兩之間的距離，因此可以得到一個形狀為 n X n 的方陣。

這個案例中，可以得到以下 5 x 5 的鄰近矩陣：

矩陣里有兩點需要注意下：

• 矩陣的對角元素始終為 0，因為點與其自身的距離始終為 0
• 使用歐幾里得距離公式來計算非對角元素的距離

比如，我們要計算點 1 和 2 之間的距離，計算公式為：

同理，按此計算方法完成后填充鄰近矩陣其余元素。

執行層次聚類

這里使用凝聚層次聚類來實現。

步驟 1：首先，我們將所有點分配成單個簇：

這里不同的顏色代表不同的簇，我們數據中的 5 個點，即有 5 個不同的簇。

步驟2：接下來，我們需要查找鄰近矩陣中的最小距離并合并距離最小的點。然后我們更新鄰近矩陣：

最小距離是 3，因此我們將合并點 1 和 2：

讓我們看看更新的集群并相應地更新鄰近矩陣：

更新之后，我們取了1、2 兩個點中值 (7, 10) 最大的來替換這個簇的值。當然除了最大值之外，我們還可以取最小值或平均值。然后，我們將再次計算這些簇的鄰近矩陣：

第 3 步：重復第 2 步，直到只剩下一個簇。

重復所有的步驟后，我們將得到如下所示的合并的聚類：

這就是凝聚層次聚類的工作原理。但問題是我們仍然不知道該分幾組？是2、3、還是4組呢？

下面開始介紹如何選擇聚類數。

如何選擇聚類數？

為了獲得層次聚類的簇數，我們使用了一個概念，叫作樹狀圖。

通過樹狀圖，我們可以更方便的選出聚類的簇數。

回到上面的例子。當我們合并兩個簇時，樹狀圖會相應地記錄這些簇之間的距離并以圖形形式表示。下面這個是樹狀圖的原始狀態，橫坐標記錄了每個點的標記，縱軸記錄了點和點之間的距離：

當合并兩個簇時，將會在樹狀圖中連接起來，連接的高度就是點之間的距離。下面是我們剛剛層次聚類的過程。

然后開始對上面的過程進行樹狀圖的繪制。從合并樣本 1 和 2 開始，這兩個樣本之間的距離為 3。

可以看到已經合并了 1 和 2。垂直線代表 1 和 2 的距離。同理，按照層次聚類過程繪制合并簇類的所有步驟，最后得到了這樣的樹狀圖：

通過樹狀圖，我們可以清楚地形象化層次聚類的步驟。樹狀圖中垂直線的距離越遠代表簇之間的距離越大。

有了這個樹狀圖，我們決定簇類數就方便多了。

現在我們可以設置一個閾值距離，繪制一條水平線。比如我們將閾值設置為 12，并繪制一條水平線，如下：

從交點中可以看到，聚類的數量就是與閾值水平線與垂直線相交的數量（紅線與 2 條垂直線相交，我們將有 2 個簇）。與橫坐標相對應的，一個簇將有一個樣本集合為 (1,2,4)，另一個集群將有一個樣本集合 (3,5)。

這樣，我們就通過樹狀圖解決了分層聚類中要決定聚類的數量。

Python代碼實戰案例

上面是理論基礎，有點數學基礎都能看懂。下面介紹下在如何用代碼Python來實現這一過程。這里拿一個客戶細分的數據來展示一下。

數據集和代碼在我的GitHub倉庫里：

??https://github.com/xiaoyusmd/PythonDataScience ??

如果覺得有幫助，還請給個star！

這個數據來源于UCI 機器學習庫。我們的目的是根據批發分銷商的客戶在不同產品類別（如牛奶、雜貨、地區等）上的年度支出，對他們進行細分。

首先對數據進行一個標準化，為了讓所有數據在同一個維度便于計算，然后應用層次聚類來細分客戶。

from sklearn.preprocessing import normalize
data_scaled = normalize(data)
data_scaled = pd.DataFrame(data_scaled, columns=data.columns)
import scipy.cluster.hierarchy as shc
plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.title("Dendrograms")  
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))

x 軸包含了所有樣本，y 軸代表這些樣本之間的距離。距離最大的垂直線是藍線，假如我們決定要以閾值 6 切割樹狀圖：

plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.title("Dendrograms")  
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))
plt.axhline(y=6, color='r', linestyle='--')

現在我們有兩個簇了，我們要對這 2 個簇應用層次聚類：

from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
cluster = AgglomerativeClustering(n_clusters=2, affinity='euclidean', linkage='ward')  
cluster.fit_predict(data_scaled)

由于我們定義了 2 個簇，因此我們可以在輸出中看到 0 和 1 的值。0 代表屬于第一個簇的點，1 代表屬于第二個簇的點。 

plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.scatter(data_scaled['Milk'], data_scaled['Grocery'], c=cluster.labels_)

到這里我們就成功的完成了聚類。