剛剛，著名數(shù)學(xué)家陶哲軒在個(gè)人社交平臺(tái)更新的幾篇帖子，引起大家廣泛的共鳴。

陶哲軒用淺顯易懂的語(yǔ)言表達(dá)了自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解與思考心得。 

文中談到了一個(gè)關(guān)于「度」的問(wèn)題，陶哲軒表示在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，缺乏或者過(guò)度的數(shù)學(xué)分析可能都會(huì)適得其反，所以要適度。

有時(shí)，我們不需要太過(guò)復(fù)雜精深的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，大道至簡(jiǎn)。

對(duì)于大多數(shù)任務(wù)，使用一些相對(duì)簡(jiǎn)單但通用的數(shù)學(xué)方法，往往比專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的算法效果更好。

陶哲軒還提到，在純數(shù)學(xué)中，故意忽略一些直覺(jué)上看似非常重要的信息非常有幫助。

接下來(lái)是陶哲軒帖子全部?jī)?nèi)容。

掌握一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)就能大有裨益。系統(tǒng)的設(shè)計(jì)不僅僅會(huì)因?yàn)槿狈ψ銐虻臄?shù)學(xué)分析而受到限制，同樣也可能因?yàn)檫^(guò)度的數(shù)學(xué)分析而受到阻礙。 

一個(gè)常見(jiàn)的例子是網(wǎng)絡(luò)安全中對(duì)密碼的要求。從數(shù)學(xué)上講，密碼要求越復(fù)雜（例如，規(guī)定最小長(zhǎng)度、特殊字符或不重復(fù)使用密碼），密碼就越安全。

然而，如果要求過(guò)于復(fù)雜，用戶(hù)和服務(wù)提供商可能會(huì)尋找繞過(guò)復(fù)雜要求的方法，比如尋找簡(jiǎn)單的密碼重置或恢復(fù)方式，或者將密碼存儲(chǔ)在不安全的系統(tǒng)中。這些做法反而可能降低整體系統(tǒng)的安全性，而不是提升它。 

另一方面，只對(duì)單一指標(biāo)（如用戶(hù)使用密碼直接登錄系統(tǒng)）進(jìn)行過(guò)度優(yōu)化，可能會(huì)損害更廣泛的目標(biāo)。就如古德哈特定律（Goodhart's law）中所說(shuō)的，「當(dāng)壓力施于其上以進(jìn)行控制時(shí)，任何觀(guān)測(cè)到的統(tǒng)計(jì)恒性都傾向消散。」

粗略的講，在設(shè)計(jì)安全性時(shí)，直接輸入方式的安全性應(yīng)該加強(qiáng)到與其他輸入方式的安全性相當(dāng)，但超過(guò)這個(gè)程度的加強(qiáng)反而可能適得其反。

舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，如果一棟建筑的前門(mén)有鎖，但窗戶(hù)沒(méi)有防護(hù)，那么再給前門(mén)加更多的鎖就沒(méi)有太大意義，這樣做甚至可能導(dǎo)致一種危險(xiǎn)的虛假安全感。另一方面，如果窗戶(hù)比前門(mén)更難進(jìn)入，那么在前門(mén)上至少加一把鎖就很合理。 

在人工智能領(lǐng)域，強(qiáng)化學(xué)習(xí)之父 Rick Sutton 的「苦澀的教訓(xùn)」（Bitter Lesson）就是這一原則的一個(gè)例子。

從直覺(jué)上來(lái)看，大家往往會(huì)認(rèn)為針對(duì)具體任務(wù)量身定制算法是最自然的選擇，在某些情況下，確實(shí)能取得不錯(cuò)的效果。

其實(shí)，對(duì)于大多數(shù)任務(wù)，使用一些相對(duì)簡(jiǎn)單但通用的數(shù)學(xué)方法，如梯度下降和反向傳播，往往比專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的算法效果更好。通用方法不依賴(lài)于特定任務(wù)的領(lǐng)域知識(shí)，而是通過(guò)大量的數(shù)據(jù)和計(jì)算資源來(lái)訓(xùn)練模型，通常能帶來(lái)更大的進(jìn)展。

最近，我看到了有人為傳感器網(wǎng)絡(luò)開(kāi)發(fā)更實(shí)惠的模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC），就是這條發(fā)現(xiàn)的證明。

傳統(tǒng)上，ADC 電路基于經(jīng)典電氣工程原理設(shè)計(jì)，采用常微分方程（ODE）、共振、傅里葉變換等數(shù)學(xué)工具來(lái)構(gòu)建高效電路。然而，在一些特定環(huán)境（如傳感器網(wǎng)絡(luò)）中，我們的目標(biāo)是大規(guī)模、快速且成本低的方式實(shí)現(xiàn)模數(shù)轉(zhuǎn)換，同時(shí)可以容忍一定的故障率。

在這種情況下，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)設(shè)計(jì) ADC 電路，不依賴(lài)任何專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的知識(shí)（如傅里葉分析），反而是更好的方法。

這并不是說(shuō)領(lǐng)域知識(shí)毫無(wú)用處 —— 例如，物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在許多物理領(lǐng)域的表現(xiàn)可以遠(yuǎn)超標(biāo)準(zhǔn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) —— 關(guān)鍵在于了解在什么情況下，應(yīng)該運(yùn)用多少領(lǐng)域知識(shí)。

在純數(shù)學(xué)中，一個(gè)有效的解題方法是故意忽略一些直覺(jué)上看似非常重要的信息。比如，在分析數(shù)論中，許多進(jìn)展都是通過(guò)把像素?cái)?shù)這樣的「重要」數(shù)學(xué)對(duì)象轉(zhuǎn)化為看起來(lái)更加簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)較少的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這樣做可以讓我們更容易找到解決問(wèn)題的途徑。

但抽象也需要把握一個(gè)度。如果抽象得過(guò)頭，就會(huì)丟失關(guān)鍵信息，反而無(wú)法解決問(wèn)題；而如果抽象得恰到好處，問(wèn)題就會(huì)變得更加清晰，從而找到合適的技巧去解決它。在此過(guò)程中甚至可以做出一些看似不太合理的變換，讓解題思路更加靈活起來(lái)。

我有時(shí)會(huì)開(kāi)玩笑說(shuō)，應(yīng)用數(shù)學(xué)家只需要掌握每本純數(shù)學(xué)研究生教材的前兩章，之后的章節(jié)對(duì)他們可能幫助不大（甚至可能有負(fù)面作用）。

另一方面，正是尋找第 3 到第 12 章的過(guò)程，才使得前兩章至臻完美、具有廣泛實(shí)用性的瑰寶。

在讀完陶哲軒的這段見(jiàn)解后，有人評(píng)論道：這些建議非常有價(jià)值，不論是對(duì)于哪種問(wèn)題，都要做到： 

• 簡(jiǎn)化細(xì)節(jié)，直到看到更宏觀(guān)的問(wèn)題結(jié)構(gòu)。
• 判斷是否已有針對(duì)同類(lèi)問(wèn)題的解決方案。
• 或者判斷這個(gè)一般性問(wèn)題類(lèi)是否過(guò)于籠統(tǒng)，或者是否過(guò)于具體。