臭名昭著的「搬沙發」難題，已經困擾了數學家們60年。

《老友記》經典的一幕，就是Ross找人幫忙搬新沙發時，無論如何也無法使沙發順利通過拐角。

Ross大喊「Pivot！Pivot！」，意即繞著某個中心軸轉動

「搬沙發」難題之所以如此棘手，就在于它要求在幾何學上滿足最大形狀在狹窄走廊中轉動一個直角而不被卡住。

能順利通過L形走廊的最大沙發形狀和尺寸是什么？這個問題，難倒了數學家們60年。

在流行數學論壇Mathoverflow上，「任何人都能理解的并不著名長期數學問題」排行榜中，這個難題長期排名第二

如今，這個難題一朝破解！

移動沙發難題，數學家探索了60年

1966年，加拿大數學家Leo Moser將「移動沙發難題」以定量的形式提出——

假設要移動一個二維形狀（忽略沙發高度）通過寬度為1單位的L形走廊，那么這個不會被卡住的最大形狀的面積是多少呢？

起初，人們很容易想到一些能通過轉角的簡單形狀。比如邊長為1的正方形，能順利通過轉角，面積為1。

然而，一旦正方形伸長成矩形，就會立刻失效，撞上走廊。

數學家們想到：既然如此，就可以通過引入完全的形狀，來擴大面積！

比如一個半徑為1的半圓，面積約為1.57（π/2），當它撞到拐彎處時，圓形的邊緣就留下了足夠的空間，來通過角落。

但是，這些形狀的面積仍然不夠大！顯然不是數學家們追求的最優解。一定還有面積更大、更巧妙的形狀。

問題關鍵就在于，既要優化形狀大小，還要優化穿越路徑。也就是說，有兩種類型的運動：滑動和旋轉。

而解決問題的關鍵，就在于同時優化兩種類型的運動。

1968年，英國數學家John Hammersley發現：可以摳出一大塊，來應對那個討厭的角落，同時延伸半圓形，讓我們的沙發面積更大（面積為 π/2 + 2/π, 大約2.2074）。

這種形狀像座機電話的沙發，就混合了滑動和旋轉運動的優勢。

自從這個半圓形變為電話形的重大升級后，這個問題一停滯就是24年！

1992年，羅格斯大學的Joseph Gerver提出了一種巧妙的形狀，面積約為2.2195，它似乎是目前已知最大的沙發。

看起來， Gerver的沙發看起來與Hammersley的沙發大差不差。

不過仔細看的話，會發現一些細微的差異：在這個新圖里，Gerver縫合了18個不同的形狀，在圓形切口底部的斜角邊緣，跟Hammersley的沙發有一些差別。

Gerver懷疑，自己找到了最大可能的大小，但無法自證。

數學家們也懷疑它就是Moser問題的答案，但一直無法證明。

如今，這個數學世界難題終于有解了！

一位年輕的博士后研究員——首爾延世大學的Jineon Baek在一篇長達119頁的論文中證明，Gerver設計的沙發就是能夠順利通過拐角的最大形狀！

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

60年難題得解，數學界轟動了。

此前，數學家們普遍認為，要證明這個猜想可能需要計算機，而Baek的證明完全沒有使用計算機。

更有趣的是，Gerver的沙發與常見的幾何形狀不同，它的面積無法用已知的數學量（如π或平方根）來表示。

然而，在「移動沙發問題」這個看似簡單的問題中，它卻是最優解。

沙發與電話

說起來，Gerver最開始得知這個問題，就是從John Hammersley那里。

后者將兩個四分之一圓與一個矩形相連，然后從中切出一個半圓，創造出了一個類似老式電話的形狀。這個形狀的面積約為2.2074（π/2+2/π）。

Hammersley還證明了這個問題的任何解，面積最大不會超過約2.8284（）。

幾年后，當時還是加州大學伯克利分校研究生的Gerver得知了這個問題。

在接下來的20年里，Gerver一直在斷斷續續思考這個問題。

直到1990年，他向著名數學家John Conway提及此事，才發現它是一個未解之謎。

這激發了他的斗志，不久后，他就提出了一個極具潛力的方案。

Gerver的沙發形狀比Hammersley的更復雜，由18個不同部分組成。有些部分是簡單的線段和弧線，有些則更加奇特。

盡管形狀復雜，但Gerver懷疑它就是最優解：它具有數學家期望的許多特征，這是最佳沙發所擁有的特質。

他證明了對其輪廓進行小的改變，并不會得到面積更大的合適形狀。

后來他還發現，貝爾實驗室的工程師Ben Logan也獨立發現了相同的形狀，但從未發表。

2016年，加州大學戴維斯分校的數學家Dan Romik對Gerver的沙發給出了更具概念性的描述。

他寫下了一組包含22個變量的22個方程，這組方程的唯一解在繪圖時就是Gerver發現的類似電話的形狀。

次年，Romik和Yoav Kallus利用計算機輔助技術縮小了Hammersley給出的面積上限與Gerver形狀面積之間的差距，但仍未完全解決問題。

年輕博士后攻克難關

在探索這個問題的征程中，韓國延世大學的博士后Jineon Baek脫穎而出。

2016年，剛進入密歇根大學攻讀研究生的Baek因服兵役中斷學業。在服役期間，他在一篇博客文章中看到了「移動沙發問題」。

起初，他只是把它當作工作之余放松的方式，但很快就認真起來。

他有一個初步想法，能證明Gerver的沙發是正確答案，但還有許多細節需要完善。2021年回到學校后，他決心攻克這個難題。

通常情況下，數學博士生會選擇導師，然后由導師分配研究問題。

但Baek一心想研究「移動沙發問題」，這使得他在尋找導師時遇到了困難，因為密歇根大學的教授們覺得自己在這個領域缺乏足夠的專業知識。

幸運的是，代數領域的專家Michael Zieve同意指導他。Zieve表示：「我從未指導過與我研究領域相差這么遠的學生，但我愿意嘗試?！?/span>

這種跨領域的指導，為Baek的研究帶來了新的視角和可能。

在攻讀博士期間，Baek在Kallus和Romik的工作基礎上繼續深入研究。他開發了強大的計算工具，進一步縮小了面積上限，取得了重要的階段性成果。

原本，Baek打算畢業后繼續采用計算方法來徹底解決「移動沙發問題」。但幾個月后，他意識到或許可以不依賴計算機來完成證明。

數學家們早已知道，任何滿足「移動沙發問題」的解都需要具備特定條件。比如，最優沙發要能夠以特定方式旋轉，底部需要有為走廊轉角留出空間的部分等等。

滿足這些條件的形狀有無窮多個，Baek首先做的是縮小范圍，通過一系列復雜的數學推理證明，最優形狀至少與Gerver的沙發相似。

他將每個沙發表示為無限維空間中的一個點。理想情況下，他希望找到一個函數，輸入點就能輸出沙發面積，進而找到函數輸出最大時對應的點。

但由于不存在能計算所有形狀面積的通用公式，他決定間接研究形狀面積。Baek發明了一個新函數Q，并定義了它的幾個重要屬性。

首先，對于他所定義空間中的任何沙發，Q的輸出至少和沙發面積一樣大，它本質上測量的是包含沙發的一個形狀的面積。這意味著如果能找到Q的最大值，就能得到最優沙發面積的一個上限。

更關鍵的是，對于Gerver的沙發，函數Q的輸出恰好等于其面積。所以，Baek只需證明當輸入為Gerver的沙發時，Q能取到最大值，就能證明Gerver的沙發是「移動沙發問題」的最優解。

Baek精心構建的Q函數表現很好，類似于簡單的拋物線，相對容易找到最大值。他證明了使Q最大化得到的形狀滿足一組特定條件，而定義Gerver沙發的方程也滿足這些條件。

就這樣，他解決了這個困擾數學家們數十年的難題，證明了Gerver的沙發是能通過走廊且不被轉角卡住的最大形狀。

Baek的證明仍在同行評審中。他結合了數學不同領域的技術，讓這個原本極其困難的問題變得可解，而且全程沒有借助計算機。

Zieve評價道：「Baek能不借助計算機完成證明，令人印象深刻，這表明其中有重要的新想法?！?/span>

Gerver在提出方案30多年后，終于看到問題被解決，他感慨道：「我現在75歲了，能活著看到有人最終解決了這個問題，我覺得很幸運?！?/span>

論文簡介

摘要：通過證明具有18個曲線段的Gerver沙發的確達到了最大面積2.2195，解決了移動沙發問題。

作者這樣定義Gerver的沙發G：刻度標記表示構成G邊界的18條解析曲線和線段的端點。右側顯示了包含G的支撐走廊Lt，以灰色表示。

Gerver的一個基本思想，就是將移動沙發S看作是旋轉走廊的交集。

從S的視角來看，S在走廊L內的運動。此時S在參考框架中是固定的，而L則圍繞S旋轉和平移，同時始終包含S。因此，S是旋轉走廊的一個共同子集

在這篇論文中，作者證明了以下定理。

這個問題之所以困難，是因為沒有一個通用的公式可以計算所有可能的移動沙發的面積。

為了解決這一問題，研究者證明了一個稱為單射性條件的性質，該條件適用于最大面積的移動沙發。

對于滿足該條件的每個移動沙發S，都將定義一個更大的形狀R，其形狀類似于Gerver的沙發（見圖1.2）。

然后，R的面積Q(S)作為S面積的上界，并且當S是Gerver的沙發G時，Q(S) 恰好等于S的實際面積。

S的單射性條件確保區域R的邊界形成一個Jordan曲線，使我們能夠利用格林定理計算Q(S)。

為此，需要證明以下三點：

1. 縮小最大面積移動沙發S_max的可能形狀范圍。

2. 證明S_max滿足單射性的條件。

3. 在單射性條件下建立沙發面積的上界Q。

接下來將S_max的形狀縮小為單調沙發，以下就是單調沙發S在走廊視角（左）和沙發視角（右）下，以旋轉角ω=π/2運動的情況。

然后，研究者證明了S_max的邊長應該互相平衡。

他們重新推導了Gerver關于定理1.3.1的證明，證明了平衡最大沙發的存在，即存在一種具有最大面積的單調沙發，它可以被平衡多邊形以足夠接近的程度逼近。

隨后，他們證明了在前一階段找到的平衡最大沙發允許以旋轉角π/2進行運動。

在論文最后，研究者提取了Gerver沙發G的相關性質，證明了G是全局最優解。