0x00 前言

大家好我是小蕉。上一次我們說完了線性回歸。不知道小伙伴有沒有什么意見建議，是不是發現每個字都看得懂，但是全篇都不知道在說啥?哈哈哈哈哈哈，那就對了。

這次我們來聊聊，有小伙伴說，那我如果我么想把結果分為兩撥，就這樣的，咋辦?

大蕉大筆一揮。啊這不是分好了嗎?

我敢說，現在百分之很多十(目測七八十)說自己在做人工智能的，都只是用Logistic回歸在做分析。

“就你事多。我不會分。”

“想學啊你?我教你啊。”

0x01 Logistic是啥玩意

想法大概是這樣。把數據映射到Logistic函數上邊，大于0.5我們就認為是類別y1 = 0，小于0.5我們認為是類別y2 = 1。

y ∈ {0 , 1} 

這個函數長啥樣?就長下面這樣。

π (x) = 1 / ( 1 + exp (-x)) 

所以我們在這種情況下，觀察到各個樣本的概率長下面這樣。

P( Y = 1 | x ) = 1 / ( 1 + exp (-x))  
P( Y = 0 | x ) = 1 / ( 1 + exp (x)) 

所以比值比ODD 長這樣

odd = P( Y = 1 | x ) / P( Y = 0 | x ) = exp (x) 

對數比值比剛剛好

ln odd = x 

你說神不神奇!!當然我們不僅僅只有一個參數是吧?所以對原始數據變成

g(x) = θ.T * x + b 

其中θ是一個N維的向量，跟每一個樣本X的維度保持一致這樣。

所以LR的映射函數做一下線性變換就變成這樣了。

π (x) = 1 / ( 1 + exp (-g(x))) 

到這里，我們已經知道Logistic回歸是什么鳥了，其實就是把數據映射到Logistic函數上，根據概率來進行分類。

0x02 極大似然估計

那我們要怎么得到損失函數loss呢?不要急跟大蕉一步一步來。

上面我們已經看到了每個樣本的概率?，F在說一下極大似然估計是什么東西。極大似然估計，就是我們裝作這些個參數啊，我們老早就知道了，然后借此來估計現在這些樣本被觀察到的概率。你腦子wata啦?既然這些樣本都已經發現了，所以實際概率肯定是***啊!!概率要越大越好越大越好，而又只是一個估計值，所以我們就叫它極大似然估計啦。

所以我們觀察到樣本的概率是

P = (p ^ Y) * (( 1 - p) ^ ( 1 - Y )) 

怎么容易一點去理解這行蜈蚣一樣的公式呢?把Y的值0跟1代進去就行了，你就懂了，Y等于0的時候就是(1 - p )，y等于1時就是 p。就是這么簡單。

下面是重點。敲黑板，劃重點!!!我就是卡在這里想了很多天，完全不知道損失函數怎么來的!

因為所有樣本都是相互獨立的，所以他們的聯合概率分布是他們的概率乘積。

L(θ) = ∏ (p ^ yi) * ( (1 - p) ^ (1 - yi)) 

yi是每個樣本的實際Y值。我們這里要求***值嘛，那要變成損失函數咋變?我們知道這個值永遠是 ( 0 , 1)的，所以直接加個負號，本來求***就變成求最小了。

∴ loss = - L(θ) 

當然我們習慣這樣加，看起來比較高端，m是樣本的個數

∴ loss = - 1/m * L(θ) 

無所謂，原理一樣的。

乘法是很消耗資源的，我們可以把它轉換成對數，這樣所有的乘法都變成加法啦!!而且而且函數的性質不變。所以最終的損失函數長這樣。

loss(θ) = - log L(θ) 

下面開始我們用Andrew NG大大的方式變換一下好了，僅僅是為了后面比較好算而已。

P = p ^ (y + 1) / 2 * (1 - p) ^ - (y - 1) / 2  
Y ∈ {-1,1} 

跟上面沒什么本質的差別，只是把Y的值域變成-1跟1了。下面就是普通的公式變換。

0x03 損失函數咋來的

l(θ) = - ∑ ln(p ^ (yi + 1) / 2 * (1 - p) ^ - (yi - 1) / 2) 

進行log變換，冪乘變成乘法。

= - ∑ (yi + 1) / 2 * lnp - (yi - 1) / 2 * ln(1 - p) ) 

把p代進去，也就是把把負號放到P里邊了。變成直接取倒數。就得到下面這個

= ∑ (yi + 1) / 2 * ln(1 + exp (-g(xi)) - (yi - 1) / 2 * ln( 1 + exp (g(xi))) 

觀察一下，就可以看出來。自己代進去就知道啦。

∴ 當yi = 1 時，l(θ) = ∑ ln(1 + exp ( - g(xi)) 

當yi = -1 時，l(θ) = ∑ ln(1 + exp ( g(xi))

所以最終的損失函數長這樣。

l(θ) = ∑ ln(1 + exp ( - yi * g(xi)) 

好了，到這里我們的推導就結束了，接下來就按照梯度下降算法去求最小值就好啦。

0x04 怎么用呢

然后我們就可以用最終得到的參數進行預測，大于0就當成類別Y1 ，即Y = 1，小于0當成類別Y1，即Y = -1。當然，這只能用于二分類。

那這玩意有什么用呢?應用場景比比皆是。

用戶點擊還是不點擊?客戶是欺詐還是沒欺詐?客戶逾期還是不逾期?這個產品是推薦還是不推薦?

傳說中的人工智能預測高端引擎就出來了，小伙伴自己試試看把。

0x05 結束語

今天就醬，掰~跪在地上求不掉粉。

【本文為51CTO專欄作者“大蕉”的原創稿件，轉載請通過作者微信公眾號“一名叫大蕉的程序員”獲取授權】

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