信號處理領域的利器-壓縮感知
隨著信息量的不斷增多，數據的采集、傳輸和存儲設備正面臨著日益嚴峻的壓力;同時數據處理過程中也會伴隨著信息泄露的風險，一部分數據的丟失都有可能威脅生命和財產的安全，而如今數據泄露已經屢見不鮮。因此在大數據時代，人們亟需尋找一種新的數據處理方式來降低信息處理過程中數據泄露風險，同時也釋放內存、傳感器等硬件設備的壓力。
壓縮感知理論是在這樣的背景下產生的一種新興的信號采集和編解碼理論。該理論指出，不管是何種類型的信號，其在原始域或者某些變換域中，總是存在稀疏或者可壓縮的表示，在傳輸過程中可用遠低于傳統奈奎斯特采樣的線性投影值，實現對信號的準確或者高概率重建。
這一理論帶來了信號采樣理論的變革，對于信息安全也有重要的意義。學者將壓縮感知應用至圖像的加密與傳輸、信息的安全編碼技術、信息的安全存儲、無線傳感器網絡的數據采集之中，有很多的信息處理以及信息安全領域學者對壓縮感知產生了較濃厚的研究興趣。本文首先簡單介紹壓縮感知的誕生，然后扼要地介紹一下理論內容和一些應用方法，結合實際談一談目前一些比較成功的應用。
一.壓縮感知的起源
“壓縮感知”思想最早出現在一篇2000年左右的博士論文《Near-Optimal Signal Recovery From Random Projections》[1]中。它的發現可以說是一次意外，當時加州理工學院教授Emmanuel Candès在研究名叫Shepp-Logan Phantom的圖像，這種標準圖像常被計算機科學家和工程師用來測試圖像還原算法。檢查的圖像質量非常差，充滿了噪聲，他使用了L-1范數最小化的數學算法來去除噪聲條紋，結果算法真的起了作用。這種算法是將一個NP難問題轉化為一個凸優化問題，也將壓縮感知的思想充分的體現：通過對信號不完備觀測后通過優化算法來高概率還原信號(如圖1所示)?！熬拖窠o出10位銀行卡賬號的前三位，我就能猜出后七位一樣，并且，屢試不爽?！边@就是壓縮感知思想的開端。
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后來，Candès與陶哲軒進行了交流，陶哲軒也開始思考這個問題，上述交流成為一篇關于壓縮感知論文的基礎。另外一位奠基人是Donoho，他的一篇代表作《Compressed sensing》[2]可以說是一篇較為完整系統地闡述壓縮感知原理以及推導的論文。
以上這些都是壓縮感知的起源。
二.壓縮感知理論內容以及獲取和求解方法
壓縮感知理論本身的含義為“通過對信號的高度不完備線性測量的高精確重建[3]”，在該理論框架下，采樣速率不再取決于信號的帶寬，而在很大程度上取決于兩個基本準則：稀疏性和非相關性。
壓縮感知理論
主要包括三部分：
(1)信號的稀疏表示;
(2)設計測量矩陣，要在降低維數的同時保證原始信號x的信息損失最小;
(3)設計信號恢復算法，利用M個觀測值無失真地恢復出長度為N的原始信號。
理論依據[4](主要由陶哲軒以及Candès推導和證明)
(1)設長度為N的信號X在某個正交基Ψ上是K-稀疏的(即含有k個非零值);
(2)如果能找到一個與Ψ不相關(不相干)的觀測基Φ;
(3)用觀測基Φ觀測原信號得到長度M的一維測量值M個觀測值Y，K
(4)那么就可以利用各種優化方法從觀測值Y中高概率恢復X。
壓縮感知高概率重構信號方法流程如下圖2所示：
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圖2 壓縮感知信號恢復流程圖
數學表達
壓縮感知方程為：y=Φx=ΦΨs=Θs。(圖3)
其中設x為長度為N的一維信號，稀疏度為k(即含有k個非零值)，y為長度為M的一維測量值，Φ為觀測矩陣，Ψ為稀疏基，s為稀疏系數。
然后將原來的測量矩陣Φ變換為Θ=ΦΨ，解出s的逼近值s’，則原信號x’ = Ψs’。
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圖3 壓縮感知方程表示圖
壓縮感知獲取和求解方法
壓縮感知在應用時主要存在兩個問題：
問題1：如何設計觀測矩陣和信號的稀疏基從而獲取到較好地觀測值，求解方法如下表1：
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表1 壓縮感知獲取策略表
問題2：如何有效地進行信號的重構即求出壓縮感知方程中信號x的近似解。求解方法如下圖4所示：
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圖4 壓縮感知信號重構方法
三.壓縮感知的應用領域和應用事例
壓縮傳感技術是壓縮感知理論的應用之一。它是一種抽象的數學概念，最初用在圖像處理之中，并逐步擴展應用到成像以外的許多領域。
要說到壓縮感知較為成功的應用事例，首當其沖的那就是美國Rice大學發明的單像素相機[14]。在整套系統中，被拍攝物體的圖像經過鏡頭打在DMD(數字微鏡芯片，Digital Micromirror Device)上，而經過DMD反射的圖像又經過二次鏡頭聚焦在只有一個像素的傳感器上，形成一個光信號。而在拍攝過程中，DMD上每個鏡片反射的明暗矩陣以偽隨機碼的形式快速變換，每變化一次形成一個像素的信號。經過對每次的信號和偽隨機碼綜合進行計算，就得到了物體的影像。相機的模型與結構如下圖5所示:
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圖5 單像素相機結構圖
這款相機的關鍵部件是由德州儀器生產的數字微鏡芯片(DMD)，這款芯片主要用在數字背投或是投影機中。DMD由大量只有細菌大小的鏡片組成，每塊微型鏡片都一面反光一面不反光，并可以快速翻轉。
以下是其中幾個應用：
- 圖像信息安全。壓縮感知具有同時采樣、壓縮和加密數據的良好特性,在圖像安全方面引起了研究人員的廣泛關注。目前融合壓縮感知，學者將其應用到圖像加密、圖像哈希、數據隱藏和安全圖像檢索技術之中。例如一些基于壓縮感知的水印方法被提出來，它們可以用于有損信道的數據傳輸，將有用信息隱蔽傳輸。
- 無線傳感器網絡(WSN)。由于傳感器節點采集的數據有時空相關性，滿足壓縮感知理論應用中信號是稀疏性和可壓縮性的條件，且傳感器節點資源有限，匯聚節點性能強大，正好適用于壓縮感知理論編碼簡單、解碼復雜的特點，因此，基于壓縮感知的 WSN 數據收集的技術得到逐步深入和廣泛的研究和發展。比如Bajwa和Haupt等將壓縮感知理論應用于無線傳感器網絡的數據采集[15]。
- 磁共振成像(MRI)。在醫學上，磁共振的工作原理是進行許多次(但次數仍是有限的)測量(基本上就是對人體圖像進行離散拉東變換—或稱為X光變換)，再對數據進行加工來生成圖像。由于測量次數必須很多，整個過程對患者來說太過漫長。壓縮傳感技術可以顯著減少測量次數，加快成像(甚至有可能做到實時成像，也就是核磁共振的視頻而非靜態圖像)。此外我們還可以以測量次數換圖像質量，即用與原來一樣的測量次數可以得到更高的圖像分辨率。
- 線性安全編碼。壓縮傳感技術提供了一個簡單的方法，讓多個傳送者可以將其信號帶糾錯地合并傳送，這樣即使輸出信號的一大部分丟失或毀壞，仍然可以恢復出原始信號。例如，可以用任意一種線性編碼把1000比特信息編碼進一個3000比特的流。那么，即使其中300位被(惡意)毀壞，原始信息也能完全無損失地完整重建。這是因為壓縮傳感技術可以把破壞動作本身看作一個稀疏的信號(只集中在3000比特中的300位)。
四.總結與展望
隨著壓縮感知理論及其技術的發展，信號處理的諸多領域發生了革命性變化，人們將其應用至信號處理的諸多領域之中，例如視頻目標追蹤[16]、無線傳感器網絡之中的數據安全傳輸與采集[17]、圖像的加密算法[18]等等，這些技術也都可以用于信息安全之中。壓縮感知已經成為信號處理領域的利器。由于有嚴格的數學證明以及推導，壓縮感知具備較為深厚的理論基礎。壓縮感知的信號采集與重構算法因信號而異，因此擁有一個通用的壓縮感知信號采集和重建策略將是非常有益的，這也將是所有研究者所追求的目標。
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【本文為51CTO專欄作者“中國保密協會科學技術分會”原創稿件，轉載請聯系原作者】
