我們都知道，實數分為有理數和無理數，它們的定義也都很明確。但令人驚訝的是，其實很難證明一個數究竟能否寫成分數形式。而現在，這個古老的問題有了一種廣泛適用的新方法。

這種新方法有三位提出者，分別是芝加哥大學的數論和朗蘭茲綱領數學教授 Frank Calegari、加州理工學院數學教授 Vesselin Dimitrov、加州大學伯克利分校助理教授及 2022 年拉馬努金獎得主唐云清。

唐云清，加州大學伯克利分校助理教授，本科畢業于北京大學數學科學學院，后在哈佛大學取得數學博士學位，2022 年成為首位獲拉馬努金獎的華人女數學家。

量子雜志作者 Erica Klarreich 近日發文介紹了這種新方法。

原文地址：https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/

1978 年 6 月，在法國馬賽舉辦的一場大型數學會議上，主辦方最后一刻補充了一個日程。在午餐時間，數學家羅杰?阿培里（Roger Apéry）將展示一個證明，證明數學中最著名的數之一 ——zeta of 3，數學家寫作 ζ(3)—— 不能表示為兩個非負整數構成的分數。這個數是數學家所說的「無理數」。

與會者都持懷疑態度。黎曼 zeta 函數（Riemann zeta function）是數論中最核心的函數之一，數學家們幾個世紀以來一直在試圖證明 ζ(3) 的無理性 —— 這個數是輸入為 3 時 zeta 函數的輸出值。當時 61 歲的阿培里并不被廣泛認為是頂尖數學家。他有著法國鄉下人的口音，還有著愛挑釁的名聲。許多與會者認為阿培里在玩一個精心策劃的惡作劇，他們準備以其人之道還治其人之身。正如一位數學家后來回憶的那樣，他們「是來搗亂的」。

這場演講很快陷入混亂。阿培里幾乎沒有解釋就一個接一個地展示方程，其中一些涉及不可能的運算，比如除以零。當被問及這些公式從何而來時，他聲稱：「它們是在我的花園長出來的。」數學家們對他的論斷報以大笑，在房間里向朋友們喊話，還扔紙飛機。

但至少有一個人，即現在波爾多大學的亨利?科恩（Henri Cohen），從演講中確信阿培里是對的。科恩立即著手充實阿培里論證的細節；在幾個月時間內，他與其他幾位數學家一起完成了證明。當他在后來的一次會議上展示他們的結論時，一位聽眾抱怨道：「這是法國農民的勝利。」

當羅杰?阿培里宣布他已經證明了 ζ(3) 的無理性時，數學家們對他嗤之以鼻，并向他扔紙飛機。但事實證明他是對的。他在巴黎的墓碑上就刻有這條定理。

數學家們雖然不情愿但還是接受了阿培里的證明，他們還預計會出現大量無理數的證明結果。

無理數遠比有理數多：如果你在數軸上隨機選擇一個點，它幾乎必定是無理數。即使數學研究中出現的數字從定義上來說并非隨機，但數學家們仍然認為它們中的大多數應該是無理數。但是，雖然數學家們成功地證明了某些數的這個基本事實，比如 π 和 e，但對于大多數其他數來說，證明仍然極其困難。數學家們希望，從 ζ(3) 之外的 zeta 函數的其他值開始，阿培里的技術可能最終能讓他們取得進展。

荷蘭拉德堡德大學的 Wadim Zudilin 說：「當時每個人都相信只需一兩年時間，就能證明每個 zeta 值都是無理數。」

但預期的突破并未出現。沒有人真正理解阿培里的公式是從哪里來的，而且當「你有一個如此陌生的證明時，要泛化、重復這種魔法并不總是那么容易，」芝加哥大學的 Frank Calegari 說。數學家們開始把阿培里的證明視為一個孤立的奇跡。

但現在，Calegari 和另外兩位數學家 —— 加州理工學院的 Vesselin Dimitrov 和加州大學伯克利分校的唐云清（Yunqing Tang）—— 做到了！他們成功展示了可以如何將阿培里的方法拓展為一個更強大的方法來證明數的無理性。使用這種方法，他們證明了無限多個類似 zeta 的值的無理性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2408.15403

巴黎 - 薩克雷大學的 Jean-Beno?t Bost 稱他們的發現是「數論領域的一個明顯突破」。

數學家們興奮的不僅是這些結果，還有研究者的方法。他們在 2021 年用這種方法解決了一個已有 50 年歷史的猜想，該猜想與數論中所謂的模形式（modular forms）有關。

「也許現在我們已有足夠的工具，可以將這類主題推進到比以前認為可能的更遠的地方，」巴黎高等師范學院的 Fran?ois Charles 說。「這是一個非常令人興奮的時期。」

雖然阿培里的證明似乎憑空而來，甚至一位數學家將其稱為「奇跡和神秘的混合」—— 但這篇新論文將他的方法納入了一個廣泛適用的框架。清晰度大大提升，因此人們不禁想，Calegari、Dimitrov 和唐云清的結果可以更容易催生進一步的成果。

多倫多大學的 Daniel Litt 說：「希望我們很快就會看到相關無理性證明的淘金熱。」

歐拉錯過的證明

自數學發現的最早時期以來，人們就一直在問哪些數字是有理數。兩千五百年前，畢達哥拉斯學派堅信每個數都是兩個整數的比值。當他們學派的一名成員證明 2 的平方根不是有理數時，他們震驚了。傳說作為懲罰，這位冒犯者被淹死了。

2 的平方根只是個開始。特殊的數從數學探究的所有領域不斷涌現。有些數，比如 π，在你計算面積和體積時出現。其他的則與特定函數相連 —— 例如，e 是自然對數的底數。「這是一個挑戰：你給自己一個在數學中自然出現的數，[然后] 你想知道它是否是有理數，」科恩說。「如果一個數是有理數，那它就不是一個很有趣的數。」

Frank Calegari 正在演講。他與另外兩位合作者一起得到的證明可望引發無理性證明的淘金熱。

許多數學家采用奧卡姆剃刀觀點：除非有令人信服的理由說明一個數應該是有理數，否則它多半不是。畢竟，數學家們早就知道大多數數都是無理數。

然而，幾個世紀以來，具體數的無理性的證明卻很少。在 18 世紀，數學巨人萊昂哈德?歐拉證明了 e 是無理數，另一位數學家約翰?蘭伯特證明了 π 也是無理數。歐拉還證明所有偶數 zeta 值 —— 數 ζ(2)、ζ(4)、ζ(6) 等等 —— 等于某個有理數乘以 π 的冪，這是證明它們無理性的第一步。這個證明最終在 19 世紀末完成。

但即使在現在，許多簡單數的狀態仍然是個謎，比如 π + e 或 ζ(5)。

數學家們仍在攻堅如此基本的數問題，這可能看起來很令人驚訝。但即使有理性是一個基本概念，研究者目前也只有很少的工具可以證明給定數是無理數。而且這些工具經常失效。

當數學家成功證明一個數的無理性時，他們的證明核心通常依賴于有理數的一個基本性質：它們不喜歡彼此靠得太近。例如，假設你選擇兩個分數，一個分母是 7，另一個分母是 100。要測量它們之間的距離（用較大的分數中減去較小的分數），你必須重寫你的分數，使它們有相同的分母。在這種情況下，公共分母是 700。所以無論你從哪兩個分數開始，它們之間的距離都是某個整數除以 700—— 這意味著這些分數至少必須相距 1/700。如果你想要更相近的分數，你就必須增大其中一個分數的原始分母。

將這種推理翻轉過來，它就變成了證明無理性的標準。假設你有一個數 k，你想弄清楚它是否是有理數。也許你注意到 k 和 4/7 之間的距離小于 1/700。這意味著 k 如果有分母，則必不可能是 100 或更小的數。接下來，也許你找到一個新的分數，讓你排除 k 有 1000 或更小分母的可能性 —— 然后另一個分數排除 10,000 或更小的分母，以此類推。如果你能構造一個無限序列的分數，逐漸排除 k 的每個可能的分母，那么 k 就不可能是有理數。

幾乎每個無理性證明都遵循這些思路。但你不能僅僅取任何接近 k 的分數序列 —— 你需要比它們的分母更快接近 k 的分數。這保證了它們排除的分母會持續增大。如果你的序列接近 k 的速度不夠快，你只能排除到某個點的分母，而不是所有可能的分母。

目前還沒有一種構造合適的分數序列的通用方法。有時候，一個好的序列會自然出現。例如，數 e（約為 2.71828）等于以下無限和：

如果你在任何有限點停止這個和并加上所有項，你得到的是一個分數。而且只需要高中數學就能證明這個分數序列接近 e 的速度足夠快，可以排除所有可能的分母。

Vesselin Dimitrov，他與合作者用了多年時間來證明 L (2) 的無理性，最終解決了數論中一個重要的、看似不相關的猜想。

但這個技巧并不總是有效。如，阿培里的無理數 ζ(3) 被定義為這個無限和：

如果你在每個有限步驟停止這個和并加上所有項，得到的分數接近 ζ(3) 的速度不夠快，不能排除 ζ(3) 的每個可能的分母。ζ(3) 可能是一個分母比你已經排除的更大的有理數。

阿培里的天才之處在于構造了一個不同的分數序列，這個序列確實足夠快地接近 ζ(3)，可以排除每個分母。他的構造使用了可以追溯到幾個世紀前的數學 —— 一篇文章稱之為「歐拉錯過的證明」。但即使在數學家理解了他的方法之后，他們也無法將他的成功擴展用于其他相關的數。

像每個無理性證明一樣，阿培里的結果立即意味著許多其他數也是無理數，例如，ζ(3) + 3，或 4 × ζ(3)。但數學家們對這種免費得到的結果不會太興奮。他們真正想要的是證明「重要」的數是無理數 —— 那些「在一個公式中出現，[然后] 在另一個公式中出現，也在數學的不同部分出現」的數，Zudilin 說。

黎曼 zeta 函數和相關的 L - 函數的值非常滿足這個標準，很少有數能比它們更加滿足。黎曼 zeta 函數 ζ(x) 會將一個數 x 轉換為這個無限和：

舉個例子，ζ(3) 就是當你代入 x = 3 時得到的無限和。長期以來，很多人都認為 zeta 函數支配著素數的分布。同時，L - 函數 —— 它們像 zeta 函數但有不同的分子 —— 支配著更復雜數系中素數的分布。在過去 50 年里，L - 函數在數論中因其在朗蘭茲綱領中的關鍵作用而變得特別突出，朗蘭茲綱領是構建數學「大統一理論」的雄心勃勃的努力。但它們也出現在數學中其它完全不同的領域。例如，取一個分子遵循 1, -1, 0, 1, -1, 0 重復模式的 L - 函數，會得到：

這個函數（下面我們將其寫成 L (x)）除了在數論中大有作用，在幾何學中也會意外地出現。例如，如果你將 L (2) 乘以一個簡單的因子，會得到具有「雙曲」幾何（馬鞍形狀的彎曲幾何）的最大正四面體的體積。

數學家們至少研究了 L (2) 兩個世紀。多年來，他們想出了七八種不同的方法用有理數序列來逼近它。但這些序列都不能足夠快地接近它，不足以證明它是無理數。

研究者似乎陷入了僵局 —— 直到 Calegari、Dimitrov 和唐云清決定將其作為他們新的無理性方法的核心。

黎曼錯過的證明

在無理性證明中，你希望你的分數序列排除越來越大的分母。數學家們有一個備受喜愛的策略來理解這樣的序列：他們會將其打包成一個函數。通過研究這個函數，他們獲得了一系列工具，包括所有微積分的技術。

在這種情況下，數學家會構造一個「冪級數」—— 一個具有無限多項的數學表達式，比如 3 + 2x + 7x2 + 4x3 + …—— 其中每個系數都是通過將你研究的數與序列中的一個分數按照特定公式組合而確定的。第一個系數最終捕捉到第一個分數排除的分母的大小；第二個系數捕捉到第二個分數排除的分母的大小；依此類推。

粗略地說，系數和被排除的分母有一個反比關系，這意味著你的目標 —— 證明被排除的分母趨向于無窮 —— 等價于證明系數趨向于零。

這種重新打包的優勢在于你可以嘗試使用整個冪級數的性質來控制系數。在這種情況下，你想研究哪些 x 值會使冪級數「爆炸」到無窮。冪級數中的項涉及 x 的越來越高的冪，所以除非它們與極小的系數配對，否則大的 x 值會使冪級數爆炸。因此，如果你能證明冪級數即使在大的 x 值下也不會爆炸，這就告訴你系數確實會收縮到零，正如你想要的那樣。

為了引入特別豐富的工具集來處理這個問題，數學家考慮 x 的「復數」值。復數結合了實部和虛部，可以表示為二維平面中的點。

想象在復數平面中從零點開始，膨脹一個圓盤，直到你碰到第一個使你的冪級數爆炸到無窮的復數 —— 數學家稱之為奇點。如果這個圓盤的半徑足夠大，你可以推斷冪級數的系數足夠快地收縮到零，從而推出你的數是無理數。

阿培里的證明和許多其他無理性結果可以用這些術語重新表述，盡管它們最初并非如此寫成。但對于 L (2) 來說，圓盤太小了。對這個數字，數學家們認為冪級數方法是死路一條。

但 Calegari、Dimitrov 和唐云清看到了一個潛在的突破口。奇點并不總是代表最終的停止點 —— 這取決于當你碰到奇點時情況如何。有時圓盤的邊界會碰到一堆奇點。如果發生這種情況，你就倒霉了。但其他時候，邊界上可能只有幾個孤立的奇點。在這些情況下，你可能能夠將你的圓盤膨脹到復平面的更大區域，避開這些奇點。

這就是 Calegari、Dimitrov 和唐云清希望做的。他們想，這個更大區域中包含的額外信息可能使他們能夠對冪級數的系數進行所需的控制。一些冪級數，Calegari 說，可以在「圓盤之外過著美好的生活」。

在四年的時間里，這幾位數學家弄清楚了如何使用這種方法來證明 L (2) 是無理數。「他們開發了一個全新的標準來決定一個給定的數字是否是無理數，」Zudilin 說。「這真是令人驚嘆。」

與阿培里的證明一樣，新方法是對早期方法的重新利用，嚴重依賴對 19 世紀的微積分的泛化。Bost 甚至稱新工作為「黎曼錯過的證明」。這里的黎曼指的是伯恩哈德?黎曼，他是 19 世紀最杰出的數學家之一，黎曼 zeta 函數就是以他的名字命名的。黎曼留給后人的難題之一就是著名的黎曼猜想。

黎曼

新的證明并不止于 L (2)。我們將 ζ(2) 的分子中的 1 替換成三個重復的數：1, -1, 0, 1, -1, 0 等等。你可以用三個重復的分子制作無限多個其他 ζ(2) 變體 —— 例如，重復模式 1, 4, 10, 1, 4, 10…，產生無限的和：

研究人員證明，每個這樣的和都是無理數（前提是它不加到零）。他們還使用他們的方法證明了一組完全不同的數的無理性，這些數由對數的乘積構成。Bost 說，這樣的數之前是「完全無法觸及的」。

研究人員預計，具有四個數字重復模式的 ζ(2) 變體可能是下一個。他們把希望寄托在證明「卡塔蘭常數 (Catalan's Constant)」的無理性上 —— 這是一個具有重復模式 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0… 的變體，已經被研究了 150 多年。

「卡塔蘭已經很接近了，」科恩說。

團隊迄今為止取得的結果「證明了他們的方法能夠走得很遠，比我們幾年前預期的要遠得多，」Charles 說。「這絕對不是故事的結束。」

在經過這么多年的迷霧探索之后，數學家們終于開始清晰地在數軸這個最基本的景觀上辨認出一系列地標。