本文的通訊作者是北京大學(xué)計算機(jī)學(xué)院長聘教授李戈。第一作者：董益宏，北京大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 22 級博士生，曾在 ISSTA、FSE、ACL、NeurIPS、TOSEM 等 CCF-A 類 / SCI 一區(qū)國際頂級會議和期刊上發(fā)表 11 篇學(xué)術(shù)論文。

周期性現(xiàn)象廣泛存在，深刻影響著人類社會和自然科學(xué)。作為最重要的基本特性之一，許多規(guī)律都顯式或隱式地包含周期性，例如天文學(xué)中的行星運動、氣象學(xué)中的季節(jié)變化、生物學(xué)中的晝夜節(jié)律、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的商業(yè)周期、物理學(xué)中的電磁波以及數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等。因此，在許多任務(wù)和場景中，人們希望對周期進(jìn)行建模，以便根據(jù)以往的經(jīng)驗進(jìn)行推理。

盡管以 MLP 和 Transformer 為代表的基礎(chǔ)模型已經(jīng)取得了顯著的成功，但是它們卻在周期性建模方面存在潛在的缺陷。即使面對簡單的正弦函數(shù)，現(xiàn)有基礎(chǔ)模型也難以理解其中的周期性規(guī)律，在外推時表現(xiàn)出完全失控的狀態(tài)，未能有效捕捉到周期性現(xiàn)象的本質(zhì)。

圖 1：不同基礎(chǔ)模型在其訓(xùn)練數(shù)據(jù)域內(nèi)外對正弦函數(shù)的表現(xiàn)，其中 x 為標(biāo)量。

為此，北京大學(xué)李戈教授的團(tuán)隊提出了一種新型網(wǎng)絡(luò)架構(gòu) FAN（Fourier Analysis Networks）。通過引入傅里葉級數(shù)的思想，F(xiàn)AN 能夠?qū)⒅芷谛孕畔⒅苯忧度刖W(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)中，使模型更自然地捕捉和理解數(shù)據(jù)中的周期性模式。

• 論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2410.02675.pdf
• 代碼鏈接：https://github.com/YihongDong/FAN
• 論文標(biāo)題：FAN: Fourier Analysis Networks

實驗表明，F(xiàn)AN 不僅在周期性建模上的表現(xiàn)顯著優(yōu)于現(xiàn)有模型，而且在符號公式表示、時間序列預(yù)測和語言建模等實際任務(wù)中也同樣表現(xiàn)出色，超過了 Transformer 等主流模型。

研究者認(rèn)為，許多實際任務(wù)都顯式或者隱式地包含潛在的周期性特征，良好的周期性建模對于提升模型在這些任務(wù)上的表現(xiàn)是必要的，而現(xiàn)有基礎(chǔ)模型嚴(yán)重依賴數(shù)據(jù)驅(qū)動的優(yōu)化方式，缺少明確的機(jī)制來理解數(shù)據(jù)中的根本原理。

FAN 的意義在于，它提供了一種全新的范式來有效地建模周期性，能夠無縫替換傳統(tǒng) MLP，同時減少參數(shù)量和計算量，填補(bǔ)了當(dāng)前基礎(chǔ)模型在周期性建模上的缺陷，并展示出廣泛的應(yīng)用潛力。

圖 2：MLP Layer 和 FAN Layer 的示例。

FAN 的實現(xiàn)細(xì)節(jié)

北大研究團(tuán)隊首先構(gòu)建一個簡單神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建模傅里葉級數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計了 FAN 網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。

為構(gòu)建一個簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，我們可以將表示為：

其中是可學(xué)習(xí)參數(shù)，(I) 根據(jù)和通過定積分計算，(II) 和 (III) 是矩陣運算的等價形式，[?||?] 和 [?,?] 分別表示沿第一維度和第二維度的連接。為了充分利用深度學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，我們可以堆疊上述網(wǎng)絡(luò)形成深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中第 i 層表示為。因此， 可以表示為：

其中 圖片 表示左側(cè)函數(shù) 圖片 作用于右側(cè)輸入 圖片 ，即 圖片 。然而，我們發(fā)現(xiàn)直接堆疊會導(dǎo)致模型的主要參數(shù)集中于學(xué)習(xí)角頻率 ( 圖片 )，從而忽略了傅里葉系數(shù) ( 圖片 和) 的學(xué)習(xí)，如下所示：

其中定義為，用于近似角頻率，用于近似傅里葉系數(shù)。因此，擬合傅里葉系數(shù)的能力與的深度無關(guān)，這是一個不理想的結(jié)果。

為了應(yīng)對這一問題，研究團(tuán)隊根據(jù)以下原則設(shè)計了 FAN：1) FAN 表示傅里葉系數(shù)的能力應(yīng)與其深度正相關(guān)；2) 任何隱藏層的輸出都可以通過后續(xù)層使用傅里葉級數(shù)來建模周期性。第一個原則通過利用 FAN 的深度增強(qiáng)了其周期性建模的表現(xiàn)力，而第二個原則確保 FAN 中間層的特征可用于執(zhí)行周期性建模。

假設(shè)我們將解耦為：

其中

為了滿足這兩個原則，F(xiàn)AN 的中間層輸入需要同時使用和而不是依次應(yīng)用它們。

最終，F(xiàn)AN 基于此設(shè)計，其 FAN 層定義如下：

其中是可學(xué)習(xí)參數(shù)，表示激活函數(shù)。

整個 FAN 定義為 FAN Layer的堆疊：

其中

FAN 的性能表現(xiàn)

1. 周期建模

下圖 3 展示了 FAN 和其他模型在周期性建模中的表現(xiàn)。結(jié)果表明，現(xiàn)有的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（包括 MLP、KAN 和 Transformers）在建模周期性方面表現(xiàn)出明顯的不足。盡管它們試圖擬合這些周期函數(shù)，但其內(nèi)在能力限制了它們在大范圍周期性上的性能表現(xiàn)。相比之下，F(xiàn)AN 在所有這些周期性建模任務(wù)中都明顯優(yōu)于基線。更值得一提的是，F(xiàn)AN 在訓(xùn)練數(shù)據(jù)域內(nèi)和域外的測試數(shù)據(jù)上都表現(xiàn)得非常出色，表明它能夠真正理解周期性的深刻原理并對其進(jìn)行精準(zhǔn)建模，而不僅僅是記住訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

圖 3 FAN 在周期性建模中的表現(xiàn)與 MLP、KAN 和 Transformer 相比，其中綠線表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)域內(nèi)的測試數(shù)據(jù)，而藍(lán)線表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)域外的測試數(shù)據(jù)。

研究團(tuán)隊還分析了不同模型在學(xué)習(xí)復(fù)雜周期函數(shù)任務(wù)上的訓(xùn)練過程，如下圖 4 所示，結(jié)果如下：1）FAN 在收斂速度和最終效果方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他模型。2）與 FAN 相比，F(xiàn)AN (Gated) 通?？梢詫崿F(xiàn)更快的收斂，但最終性能仍然相當(dāng)。3）隨著訓(xùn)練輪數(shù)的增加，雖然其他模型的訓(xùn)練損失變得穩(wěn)定或逐漸減少，但它們的建模可能與測試數(shù)據(jù)的分布有很大差異，導(dǎo)致測試損失急劇增加。這一現(xiàn)象進(jìn)一步證明了這些模型在捕捉周期性方面的缺陷。

圖 4 不同模型在學(xué)習(xí)復(fù)雜周期函數(shù)任務(wù)上的訓(xùn)練和測試損失比較

2. 符號公式表示

從不同模型應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)中四個常見函數(shù)的表現(xiàn)中可以觀察到，雖然 KAN 在參數(shù)數(shù)量較少時能與 FAN 相媲美，但隨著參數(shù)數(shù)量的增加，其性能會顯著下降。相反，隨著參數(shù)數(shù)量的增加，F(xiàn)AN 擬合這些函數(shù)始終優(yōu)于其他基線，包括 MLP、KAN 和 Transformer，盡管這些函數(shù)中的許多只是部分周期性的或完全非周期性的。這些結(jié)果表明，F(xiàn)AN 不僅增強(qiáng)了對周期性的建模能力，同時也沒有損害擬合非周期性函數(shù)的能力。

圖 5 不同模型在符號公式表示任務(wù)中不同參數(shù)量的表現(xiàn)

3. 時間序列預(yù)測

如下表 2 所示，研究團(tuán)隊在四個公共數(shù)據(jù)集上比較了結(jié)合 FAN 的 Transformer 和其他序列模型在時間序列預(yù)測任務(wù)上的表現(xiàn)。

在大多數(shù)情況下，與 LSTM、Mamba 和標(biāo)準(zhǔn) Transformer 相比，結(jié)合 FAN 和 FAN（Gated）的 Transformer 在這些任務(wù)上取得了最佳性能。它們相對于標(biāo)準(zhǔn) Transformer 的改進(jìn)是顯著的，平均相對改進(jìn)范圍為 14.3%-15.0% 的 MSE 和 7.6%-7.9% 的 MAE。這些結(jié)果表明，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中加入顯式周期模式編碼可以提高實際應(yīng)用中的時間序列預(yù)測性能。

4. 語言建模

研究者報告了不同序列模型在四種情緒分析數(shù)據(jù)集上的性能比較，如表 3 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，結(jié)合 FAN 和 FAN（Gated）的 Transformer 與標(biāo)準(zhǔn) Transformer 和其他序列模型（例如 LSTM 和 Mamba）相比表現(xiàn)出明顯優(yōu)越的性能，尤其是在 IMDB、Sentiment140 和 Amazon Reviewers 數(shù)據(jù)集上的零樣本跨領(lǐng)域表現(xiàn)。結(jié)合 FAN 的 Transformer 在損失和準(zhǔn)確度方面分別實現(xiàn)了最 14.65% 和 8.50% 的相對改進(jìn)，同時將參數(shù)數(shù)量減少了約 14.16M。結(jié)果表明周期性建模在跨領(lǐng)域語言建模和情緒分析任務(wù)上具有提高有效性和泛化的潛力。

FAN 的表達(dá)能力和應(yīng)用范圍

FAN 在理論上具有與 MLP 相同的表達(dá)能力，因為它也遵循通用近似定理，這確保了其函數(shù)近似能力。不同的是，F(xiàn)AN 通過明確納入周期性，引入了重要的功能增強(qiáng)，這是傳統(tǒng) MLP 所不具備的。FAN 的這一設(shè)計，不僅全面繼承了 MLP 的既有優(yōu)勢，還增強(qiáng)了其捕獲數(shù)據(jù)周期性特征的能力。因此，F(xiàn)AN 可以作為 MLP 的有力替代品。 

當(dāng)然，F(xiàn)AN 的實用性不僅限于明確需要周期性建模的任務(wù)，在更廣泛的應(yīng)用中也展現(xiàn)出強(qiáng)大的適用性。研究團(tuán)隊通過一系列現(xiàn)實世界任務(wù)的實驗證明，如符號公式表示、時間序列預(yù)測和語言建模等，F(xiàn)AN 的表現(xiàn)明顯優(yōu)于 MLP 和其他基線模型。

事實上，許多看似與周期性無直接關(guān)聯(lián)的機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)，如數(shù)學(xué)運算和邏輯推理，實際上也可能隱藏著周期性。如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)缺乏針對周期性特征進(jìn)行建模的能力，則可能會損害其學(xué)習(xí)效率。從更深層次的角度來看，周期性不僅僅是一種數(shù)據(jù)特征，還反映了一種規(guī)律或知識，即允許抽象的規(guī)則和原理在不同上下文之間轉(zhuǎn)移和重用。

總結(jié)來看，F(xiàn)AN 與 MLP 相比，不僅增強(qiáng)了周期性建模能力，且參數(shù)量和計算量更少，有望成為基礎(chǔ)模型的關(guān)鍵組成部分。未來，北大研究團(tuán)隊將進(jìn)一步擴(kuò)大 FAN 的應(yīng)用范圍，增強(qiáng)其作為基礎(chǔ)模型組件的表現(xiàn)，持續(xù)推動基礎(chǔ)模型的技術(shù)進(jìn)步與創(chuàng)新發(fā)展。