在數(shù)據(jù)分布持續(xù)變化的動態(tài)環(huán)境中，如何進行連續(xù)模型泛化？

東京大學等高校的研究人員提出了名為Koodos的新框架，可以基于在一些隨機時間點觀測的數(shù)據(jù)分布，在任意時刻生成當下適用的神經(jīng)網(wǎng)絡。 

盡管數(shù)據(jù)隨時間持續(xù)發(fā)生變化，但是泛化的模型能在連續(xù)時間中與數(shù)據(jù)分布始終保持協(xié)調一致。

Koodos將模型的復雜非線性動態(tài)轉化為可學習的連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)，同時利用先驗知識以確保泛化過程的穩(wěn)定性和可控性。

實驗表明，Koodos顯著超越現(xiàn)有方法，為時域泛化開辟了全新的研究方向。

模型泛化面臨三大難題

在實際應用中，數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)分布往往隨著時間而不斷變化，預測模型需要持續(xù)更新以保持準確性。

時域泛化旨在預測未來數(shù)據(jù)分布，從而提前更新模型，使模型與數(shù)據(jù)同步變化。

領域泛化（Domain Generalization, DG）作為一種重要的機器學習策略，旨在學習一個能夠在未見目標領域中也保持良好表現(xiàn)的模型。

近年來研究人員發(fā)現(xiàn)，在動態(tài)環(huán)境中，領域數(shù)據(jù)（Domain Data）分布往往具有顯著的時間依賴性，這促使了時域泛化（Temporal Domain Generalization, TDG）技術的快速發(fā)展。

時域泛化將多個領域視為一個時間序列而非一組獨立的靜態(tài)個體，利用歷史領域預測未來領域，從而實現(xiàn)對模型參數(shù)的提前調整，顯著提升了傳統(tǒng)DG方法的效果。

然而，現(xiàn)有的時域泛化研究集中在“離散時間域”假設下，即假設領域數(shù)據(jù)在固定時間間隔（如逐周或逐年）收集。

基于這一假設，概率模型被用于預測時域演變，例如通過隱變量模型生成未來數(shù)據(jù)，或利用序列模型（如LSTM）預測未來的模型參數(shù)。

然而在現(xiàn)實中，領域數(shù)據(jù)的觀測并不總是在離散、規(guī)律的時間點上，而是隨機且稀疏地分布在連續(xù)時間軸上。

例如在下圖展示的示例中，與傳統(tǒng)TDG假設的領域在時間軸上規(guī)律分布不同，實際情況下人們只能在特定事件發(fā)生時獲得一個域，而這些事件的發(fā)生時間并不固定。

同時，概念漂移（Concept Drift）在時間軸上發(fā)生，即領域數(shù)據(jù)分布隨著時間不斷演變：如活躍用戶增加、新交互行為形成、年齡與性別分布變化等。

理想情況下，每個時態(tài)域對應的預測模型也應隨時間逐漸調整，以應對這種概念漂移。

最后，由于未來的域采集時間未知，作者希望泛化預測模型到未來的任意時刻。

此外，傳統(tǒng)方法也難以保證泛化過程在整個時間流中保持穩(wěn)定和可控。

為了應對這些場景中的模型泛化，作者提出了“連續(xù)時域泛化”（Continuous Temporal Domain Generalization, CTDG）任務，其中觀測和未觀測的領域均分布于連續(xù)時間軸上隨機的時間點。

CTDG關注于如何表征時態(tài)領域的連續(xù)動態(tài)，使得模型能夠在任意時間點實現(xiàn)穩(wěn)定、適應性的調整，從而完成泛化預測。

CTDG任務的挑戰(zhàn)遠超傳統(tǒng)的TDG方法。

CTDG不僅需要處理不規(guī)律時間分布的訓練域，更重要的是，它旨在讓模型泛化到任意時刻，即要求在連續(xù)時間的每個點上都能精確描述模型狀態(tài)。

而TDG方法則僅關注未來的單步泛化：在觀測點優(yōu)化出當前模型狀態(tài)后，只需將其外推一步即可。

這使得CTDG區(qū)別于TDG任務——

CTDG的關鍵在于如何在連續(xù)時間軸上同步數(shù)據(jù)分布和模型參數(shù)的動態(tài)演變，而不是僅局限于未來某一特定時刻的模型表現(xiàn)。

具體而言，與TDG任務相比，CTDG的復雜性主要來自以下幾個尚未被充分探索的核心挑戰(zhàn)：

• 如何建模數(shù)據(jù)動態(tài)并同步模型動態(tài)
• 如何在高度非線性模型動態(tài)中捕捉主動態(tài)
• 如何確保長期泛化的穩(wěn)定性和可控性

接下來具體分析一下這三大挑戰(zhàn)。

如何建模數(shù)據(jù)動態(tài)并同步模型動態(tài)

CTDG要求在連續(xù)時間軸上捕捉領域數(shù)據(jù)的動態(tài)，并據(jù)此同步調整模型狀態(tài)。

然而，數(shù)據(jù)動態(tài)本身難以直接觀測，需要通過觀測時間點來學習。

此外，模型動態(tài)的演變過程也同樣復雜。理解數(shù)據(jù)演變如何驅動模型演變構成了CTDG的首要挑戰(zhàn)。

如何在高度非線性模型動態(tài)中捕捉主動態(tài)

領域數(shù)據(jù)的預測模型通常依賴過參數(shù)化（over-parametrized）的深度神經(jīng)網(wǎng)絡，模型動態(tài)因此呈現(xiàn)出高維、非線性的復雜特征。

這導致模型的主動態(tài)嵌藏在大量潛在維度中。

如何有效提取并將這些主動態(tài)映射到可學習的空間，是CTDG任務中的另一重大挑戰(zhàn)。

如何確保長期泛化的穩(wěn)定性和可控性

為實現(xiàn)未來任意時刻的泛化，CTDG必須確保模型的長期穩(wěn)定性。

此外，在許多情況下，人們可能擁有數(shù)據(jù)動態(tài)的高層次先驗知識。

如何將這些先驗知識嵌入CTDG的優(yōu)化過程中，進而提升泛化的穩(wěn)定性和可控性，是一個重要的開放性問題。

模型與動態(tài)聯(lián)合優(yōu)化

數(shù)學問題建模

設計思路

作者提出的方法通過模型與數(shù)據(jù)的同步、動態(tài)簡化表示，以及高效的聯(lián)合優(yōu)化展開。

具體思路如下：

• 同步數(shù)據(jù)和模型的動態(tài)：作者證明了連續(xù)時域中模型參數(shù)的連續(xù)性，而后借助神經(jīng)微分方程（Neural ODE）建立模型動態(tài)系統(tǒng)，從而實現(xiàn)模型動態(tài)與數(shù)據(jù)動態(tài)的同步。
• 表征高維動態(tài)到低維空間：作者將高維模型參數(shù)映射到一個結構化的庫普曼空間（Koopman Space）中。該空間通過可學習的低維線性動態(tài)來捕捉模型的主要動態(tài)。
• 聯(lián)合優(yōu)化模型與其動態(tài)：作者將單個領域的模型學習與各時間點上的連續(xù)動態(tài)進行聯(lián)合優(yōu)化，并設計了歸納偏置的約束接口，通過端到端優(yōu)化保證泛化的穩(wěn)定性和可控性。

數(shù)據(jù)動態(tài)建模與模型動態(tài)同步

也就是說，模型參數(shù)會隨數(shù)據(jù)分布的變化而平滑調整。

用庫普曼算子簡化模型動態(tài)

在實際任務中，預測模型通常依賴于過參數(shù)化的深度神經(jīng)網(wǎng)絡，使得模型動態(tài)h呈現(xiàn)為在高維空間中糾纏的非線性動態(tài)。

直接對h建模不僅計算量大，且極易導致泛化不穩(wěn)定。

然而，h受數(shù)據(jù)動態(tài)f的支配，而數(shù)據(jù)動態(tài)通常是簡單、可預測的。

這意味著在過參數(shù)化空間中，模型的主動態(tài)（Principal Dynamics）可以在適當轉換的空間內進行更易于管理的表示。

受此驅動，作者引入了庫普曼理論（Koopman Theory）來簡化復雜的模型動態(tài)。

庫普曼理論在保持動態(tài)系統(tǒng)特征的同時將復雜的非線性動態(tài)線性化。

最終，通過庫普曼算子的引入，作者實現(xiàn)了對模型動態(tài)的簡化，保證了泛化過程的穩(wěn)健性。

聯(lián)合優(yōu)化與先驗知識結合

作者對多個組件同時施加約束確保模型能穩(wěn)定泛化，其中包含以下關鍵項：

• 預測準確性：通過最小化預測誤差，使預測模型在每個觀測時間點都能準確預測實際數(shù)據(jù)。
• 泛化準確性：通過最小化預測誤差，使泛化模型在每個觀測時間點都能準確預測實際數(shù)據(jù)。
• 重構一致性：確保模型參數(shù)在原始空間與庫普曼空間之間的轉換具有一致性。
• 動態(tài)保真性：約束庫普曼空間的動態(tài)行為，使得映射后的空間符合預期的動態(tài)系統(tǒng)特征。
• 參數(shù)一致性：確保泛化模型參數(shù)映射回原始空間后與預測模型參數(shù)保持一致。
  引入庫普曼理論的另一優(yōu)勢在于，可以通過庫普曼算子的譜特性來評估模型的長期穩(wěn)定性。

此外，還可以在庫普曼算子中施加約束來控制模型的動態(tài)行為。

通過觀察庫普曼算子的特征值，可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定：

• 若所有特征值實部為負，系統(tǒng)會穩(wěn)定地趨向于一個平衡狀態(tài)。
• 若存在特征值實部為正，系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，模型在未來可能會崩塌。
• 若特征值實部為零，系統(tǒng)可能表現(xiàn)出周期性行為。

通過分析這些特征值的分布，可以預測系統(tǒng)的長期行為，識別模型在未來是否可能出現(xiàn)崩潰的風險。

此外，還可以通過對庫普曼算子施加顯式約束來調控模型的動態(tài)行為。例如：

• 周期性約束：當數(shù)據(jù)動態(tài)為周期性時，可將庫普曼算子K設為反對稱矩陣，使其特征值為純虛數(shù)，從而使模型表現(xiàn)出周期性行為。
• 低秩近似：將K表示為低秩矩陣，有助于控制模型的自由度，避免過擬合到次要信息。

通過這些手段，不僅提高了泛化的長期穩(wěn)定性，還增強了模型在特定任務中的可控性。

實驗

實驗設置

為驗證算法效果，作者使用了合成數(shù)據(jù)集和多種真實世界場景的數(shù)據(jù)集：

合成數(shù)據(jù)集包括 Rotated 2-Moons 和 Rotated MNIST 數(shù)據(jù)集，通過在連續(xù)時間區(qū)間內隨機生成時間戳，并對 Moons 和 MNIST 數(shù)據(jù)按時間戳逐步旋轉生成連續(xù)時域。

真實世界數(shù)據(jù)集則包括以下三類：

• 事件驅動數(shù)據(jù)集Cyclone：基于熱帶氣旋的衛(wèi)星圖像預測風力強度，氣旋發(fā)生日期對應連續(xù)時域。
• 流數(shù)據(jù)集Twitter和House：分別從任意時間段抽取推文和房價數(shù)據(jù)流構成一個領域，多次隨機抽取形成連續(xù)時域
• 不規(guī)則離散數(shù)據(jù)集Yearbook：人像圖片預測性別，從 84 年中隨機抽取 40 年數(shù)據(jù)作為連續(xù)時域。

定量分析

作者首先對比了Koodos方法與各基線方法的定量性能。

下表顯示，Koodos方法在所有數(shù)據(jù)集上展現(xiàn)了顯著的性能提升。

在合成數(shù)據(jù)集上，Koodos能夠輕松應對持續(xù)的概念漂移，而所有基線方法在這種場景下全部失效。

在真實世界數(shù)據(jù)集上，盡管某些基線方法（如 CIDA、DRAIN和DeepODE）在少數(shù)場景中略有表現(xiàn)，但其相較于簡單方法（如Offline）的改進非常有限。

相比之下，Koodos顯著優(yōu)于所有現(xiàn)有方法，彰顯出在時域泛化任務中考慮分布連續(xù)變化的關鍵作用。

決策邊界

為直觀展示泛化效果，作者在Rotated 2-Moons數(shù)據(jù)集上進行了決策邊界的可視化。

該任務具有極高難度：模型需在0到35秒左右的35個連續(xù)時域上訓練，隨后泛化到不規(guī)律分布在35到50秒的15個測試域。而現(xiàn)有方法通常只能泛化至未來的一個時域（T+1），且難以處理不規(guī)律的時間分布。

下圖展示了從15個測試域中選取了7個進行可視化測試的結果（紫色和黃色表示數(shù)據(jù)區(qū)域，紅線表示決策邊界）。

結果清晰地表明，基線方法在應對連續(xù)時域的動態(tài)變化時表現(xiàn)不足。隨著時間推進，決策邊界逐漸偏離理想狀態(tài)。

尤其是最新的DRAIN方法（ICLR23）在多步泛化任務中明顯失效。

相比之下，Koodos在所有測試域上展現(xiàn)出卓越的泛化能力，始終保持清晰、準確的決策邊界，與實際數(shù)據(jù)分布變化高度同步。

這一效果突顯了Koodos在時域泛化任務中的優(yōu)勢。

模型演變軌跡

為更深入地分析模型的泛化能力，作者通過t-SNE降維，將不同方法的模型參數(shù)的演變過程（Model Evolution Trajectory）在隱空間中可視化。

可以看出，Koodos的軌跡呈現(xiàn)出平滑而有規(guī)律的螺旋式上升路徑，從訓練域平滑延伸至測試域。

這一軌跡表明，Koodos能夠在隱空間中有效捕捉數(shù)據(jù)分布的連續(xù)變化，并隨時間自然地擴展泛化。

相比之下，基線模型的軌跡在隱空間中缺乏清晰結構，隨著時間推移，逐漸出現(xiàn)明顯的偏離，未能形成一致的動態(tài)模式。

時域泛化的分析與控制

在 Koodos 模型中，庫普曼算子為分析模型動態(tài)提供了有效手段。

作者對Koodos在2-Moons數(shù)據(jù)集上分析表明，庫普曼算子的特征值在復平面上分布在穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)。

這意味著Koodos在中短期內能穩(wěn)定泛化，但在極長時間的預測上將會逐漸失去穩(wěn)定性，偏離預期路徑（下圖b）。

為提升模型的穩(wěn)定性，作者通過將庫普曼算子配置為反對稱矩陣（即Koodos版本），確保所有特征值為純虛數(shù)，使模型具有周期性穩(wěn)定特性。

在這一配置下，Koodos展現(xiàn)出高度一致的軌跡，即使在長時間外推過程中依然保持穩(wěn)定和準確，證明了引入先驗知識對增強模型穩(wěn)健性的效果（下圖c）。

（a：部分訓練域數(shù)據(jù)；b：不受控，模型最終偏離預期；c：受控，模型始終穩(wěn)定且準確。）

時域泛化與生成式模型任務有天然的關聯(lián)，Koodos所具備的泛化能力能夠為神經(jīng)網(wǎng)絡生成技術帶來新的可能。

Koodos的應用并不局限于時域泛化，它也可以適用于其他分布變化的任務中。

作者計劃探索其在非時態(tài)領域的應用。

同時，作者也將探索時域泛化在大模型中的集成，幫助LLM在復雜多變的分布中保持魯棒性和穩(wěn)定性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.16075
GitHub：https://github.com/Zekun-Cai/Koodos/